La derivata: il “carpe diem” scientifico

Orazio, nelle Odi, scrisse “carpe diem”, massima che può essere tradotta come “cogli l’attimo”. La citazione è poi diventata famosissima al punto che, paradossalmente, molte persone conoscono le parole e non l’autore.

La frase è semplicemente un invito a godere ogni giorno della vita, essendo il futuro insondabile e il passato alle spalle. In realtà, questo tema è stato preso pure da Catullo, per esempio nel carme 5, quando recita “soles occidere et redire possunt: / nobis cum semel occidit brevis lux,/ nox est perpetua una dormienda”, cioè “il sole che tramonta può tornare./ Noi, tramontata questa breve luce, / dobbiamo dormire una notte perpetua.”

Il concetto, oltre che famoso, è di una enorme importanza, perché fa riflettere sul significato del tempo e soprattutto sul concetto di istante infinitesimo di tempo. La parola infinitesimo non è stata messa lì per caso: esiste un operatore matematico con il “superpotere” di “cogliere” l’attimo. Prima però facciamo un passo indietro.

Le derivate

In matematica spesso si parla di funzioni. Esse non sono altro che “trasformazioni” che, data in input un valore della variabile dipendente (x), “tira fuori” una variabile indipendente (y). Formalmente si scrive y(x) e si legge “y di x”. Questa dipendenza può essere di ogni tipo: per una singola x posso pure avere due y. Prendiamo, per semplicità, il caso in cui la funzione è continua (detto in modo assolutamente poco ortodosso, quando nel disegno non si stacca mai la penna dal foglio) ed è biunivoca, cioè per ogni x che ci inserisco ottengo una sola y.

Ora immaginiamo che si voglia conoscere l’incremento (o il decremento) infinitesimo della y. Sicuramente questo dipenderà da x. Definiamo quindi il rapporto incrementale come nell’immagine.

Se consideriamo l’intervallo delle x sempre più piccolo facciamo quindi tendere a zero Δx ottenendo quindi la derivata. La derivata definisce quindi “la pendenza” della funzione in ogni punto. Anche perché, mantenendo generalità, otteniamo come risultato un’altra funzione. Per mantenere generalità è bene specificare che in realtà posso fare la derivata in quasi ogni punto di ogni funzione, tranne che in tre punti (punto angoloso, cuspide e flesso a tangente verticale). Questi casi non sono lo scopo dell’articolo, sono da citare sono per correttezza.

 Le derivate nella fisica

Se si applicasse questo concetto alla fisica tutte le formule apprese nel corso del biennio delle superiori che contengono un Δ sono da considerare come derivate. Di conseguenza la velocità che è definita come Δs/Δt dove s è lo spostamento e t è l’intervallo di tempo diventa:

Questo ci permette di avere la velocità valida per ogni tipo di velocità e non solo per il moto rettilineo uniforme.

Cosa porta questa astrazione? Permette di considerare l’istante di tempo infinitesimo di una qualsiasi “cosa” (che diventa funzione) che dipende dal tempo. Ci sono moltissimi processi che hanno questa dipendenza: la corrente elettrica alternata, per esempio, oppure i flussi di fluidi o delle forze. Questi permettono di definire molte grandezze e modellizzare moltissimi processi molto complessi. Le equazioni di Maxwell, per esempio sono le leggi che governano i campi elettromagnetici alla base dell’elettronica e delle telecomunicazione. Le equazioni di Navier-Stokes sono l’analogo nei fluidi e permettono di studiare il comportamento degli stessi.

Con la derivata, se si conosce la formulazione in funzione del tempo si può coglierne l’attimo che fugge e la sua rapida, quanto istantanea, variazione. Insomma, con la derivata è possibile cristallizzare una qualsiasi cosa che inevitabilmente cambia nel tempo e prevederne pure il mutamento, sapendo la “pendenza”.

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