Il Superuovo

Infiniti più grandi di infiniti: Cantor e la potenza del continuo

Infiniti più grandi di infiniti: Cantor e la potenza del continuo

Nel panorama della crisi dei fondamenti fisico-matematici del mondo di inizio Novecento, grande rilievo assunsero le teorizzazioni del matematico tedesco Georg Cantor. Padre della moderna teoria degli insiemi, egli dimostrò l’esistenza di infinità più piccole di altre infinità, tramite l’analisi delle proprietà di insiemi numerici infiniti e l’introduzione del concetto di numero transfinito.

Raramente nella storia della scienza si può attribuire la paternità di un’intera disciplina ad un solo scienziato. Eppure, questo è proprio il caso della teoria degli insiemi, creata ex-novo dal matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918). Il concetto di “numero transfinito“, da lui introdotto in quest’ambito, cambiò radicalmente la visione non solo matematica dell’infinito. Nella visione classica, propria della matematica per oltre due millenni, l’infinito è molto simile all’apeiron di Anassimandro: un’entità immaginabile soltanto come senza-limiti e, in quanto tale, unica. Nella teoria di Cantor, invece, da idea unica e assoluta, l’infinito si moltiplica (tant’è che si parla di infinità) e diventa suscettibile perfino di essere ordinato per grandezza. Si capisce bene quindi perché Cantor finì i suoi giorni in una clinica psichiatrica, in preda alla depressione: i suoi contemporanei gli risero in faccia quando lo sentirono affermare che un infinito può essere più grande di un altro infinito. Ma aveva ragione; e le sue ragioni sconvolsero il conciliante quadro entro cui gli uomini di buon senso sono soliti concepire il mondo.

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Un ritratto di Georg Cantor (1845-1918)

Per chiarire i termini di tale rivoluzione, occorre introdurre e chiarire alcuni semplici concetti. Per cardinalità di un insieme A si intende il numero n di elementi che tale insieme contiene. La cardinalità di A si indica solitamente con la scrittura “#A=n“. Una funzione biunivoca è invece una relazione da un insieme di partenza A, detto dominio, a un insieme di arrivo B, detto codominio, definita in modo tale che ogni elemento di B risulti essere collegato con uno e un solo elemento di A. Due insiemi sono detti equipotenti se è possibile stabilire una relazione biunivoca tra i due, e risultano avere pari cardinalità. Un sottoinsieme si dice proprio se ha cardinalità compresa tra 0 e la cardinalità dell’insieme (estremi esclusi). Se un insieme risulta essere equipotente ad un suo sottoinsieme proprio, esso è un insieme infinito.

Detto questo, Cantor definì la cardinalità dell’insieme N dei numeri naturali (0,1,2,3,4…) come cardinalità del numerabile. Questa affermazione è coerente in quanto è possibile porre in relazione biunivoca i numeri naturali con un loro sottoinsieme proprio, come ad esempio i numeri pari, o i multipli di 3 etc. Si è soliti indicare la cardinalità di N con la prima lettera dell’alfabeto ebraico, אo (aleph-zero). Si dimostra che sia Z (insieme dei numeri interi relativi) che Q (insieme dei numeri razionali) sono infinità numerabili: si può infatti stabilire una relazione biunivoca tra essi e N. Nel caso di Z, la biiezione risulta banalmente essere:

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La relazione biunivoca da Z in N.

Più complicato è il caso di Q. Essendo un insieme denso, si ha che tra due elementi di Q arbitrariamente vicini esistono sempre infiniti elementi di Q. Non si può quindi individuare il “successivo” di un numero razionale. Ma Cantor, nel suo genio, sfruttando la definizione di numero razionale, riuscì a dimostrare la numerabilità di Q. Egli utilizzò uno stratagemma oggi noto come “diagonalizzazione di Cantor“. Si dispongano i numeri in tabella come segue:

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La disposizione proposta da Cantor.

 

Si noti che se si seguisse una qualsiasi riga o colonna non si riuscirebbe mai ad esaurirne gli elementi per passare alla successiva. Cantor allora propose di procedere in diagonale, partendo da 0 e proseguendo con 1, 2, 1/2, … . Eliminando i numeri non ridotti ai minimi termini, si ottiene una successione che, seppur non per grandezza, mette in relazione i razionali non negativi con i naturali. Analogamente, si può estendere il procedimento anche ai razionali negativi. Ricordando inoltre che l’unione di insiemi numerabili è anch’essa un insieme numerabile, si dimostra che Q è numerabile e quindi equipotente a N. Questo risultato già di per sé sarebbe sconvolgente: come può un insieme in teoria più ampio di N contenere esattamente gli stessi elementi? Eppure, il meglio ha da venire.

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L’artificio della diagonalizzazione di Cantor.

Si definisca ora l’insieme delle parti P(A) come l’insieme che contiene tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A. Si può dimostrare per induzione che se #A=n allora #P(A)=2^n. Si può inoltre dimostrare che dato un insieme A e il suo insieme delle parti P(A), si ha sempre #A<#P(A). Consideriamo ora P(N). Si avrà che #N<#P(N) e in particolare, che #P(N)=2^אo=אi (aleph-uno). Si è quindi trovata una nuova infinità maggiore del numerabile: essa viene detta “potenza del continuo“. Si dimostra che l’insieme dei numeri reali R non è numerabile ed è equipotente a P(N). Quindi, i numeri reali sono molti di più dei numeri razionali e naturali. Inoltre, ricordando la precedente affermazione, visto che R è formato dall’unione dell’insieme Q numerabile e dell’insieme I (numeri irrazionali) e non è numerabile, allora va da sé che I non è numerabile. I numeri razionali quindi, che i pitagorici risultavano essere alla base del mondo, sono molti di meno dei numeri irrazionali.

Continuando ad operare con gli insiemi delle parti si possono definire infinità ancora più grandi: אii, אiii, אiv etc. Esse perdono qualsiasi utilità pratica oltre aleph-tre, ma di fatto esistono e sono definibili all’infinito. Oltre tutte queste infinità, irraggiungibile, Cantor collocò l’infinito assoluto, che il matematico tedesco identifica con Dio. Egli quindi si avventura in un territorio conteso tra matematica, filosofia e religione che lo porrà in urto coi suoi contemporanei e con la Chiesa del periodo. Di fatto però, quello che resta di Cantor è il nuovo approccio creato nei confronti dell’infinità: non più l’assoluto romantico ma un semplice numero, seppur transfinito. E, nonostante il poco peso dato alle sue teorie, in sede storiografica è ampiamente riconosciuto il peso che ebbero le sue teorie sull’immaginario del Novecento.

-EnricDeBlessed

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