Risolvere rompicapo come il Dottor Kawashima e il Professor Layton: il trucco è nel metodo

Trucchi e consigli per risolvere enigmi, indovinelli e problemi tra videogiochi e competizioni matematiche

Niccolò Tartaglia (1499-1557) è uno dei matematici italiani più conosciuti, anche grazie al “triangolo” che ne porta il nome, ma non tutti sanno che il suo nome è legato a una famose disfida matematica, che vinse quasi senza batter ciglio. Oggi i problemi matematici non hanno perso il loro fascino e li ritroviamo anche in videogiochi di successo e gare internazionali. Pensate di non essere all’altezza? Leggete questo articolo e vedrete che con la giusta mentalità e qualche trucchetto ogni problema troverà la soluzione (o quasi).

Brain Training e il Professor Layton: il fascino degli indovinelli

Nel 2005 uscì per la console Nintendo DS il videogioco Brain Training del Dr. Kawashima: quanti anni ha il tuo cervello? (Sì, il titolo completo è lungo), sviluppato appunto in collaborazione con il neuroscienziato giapponese Ryuta Kawashima. Comprendeva esercizi di aritmetica, memoria e sudoku e consisteva nell’ottenere una stima della propria età cerebrale sulla base dei risultati ottenuti nelle varie attività proposte. Di tre anni dopo è invece Il professor Layton e il paese dei misteri, primo capitolo di una fortunata serie che conta oggi 7 capitoli oltre a un crossover e due spin-off. Il gioco segue una trama da libro giallo, con una trama principale e varie sottotrame la cui soluzione si raggiunge risolvendo rompicapi di vario tipo sempre più difficili. Non si tratta di casi isolati e se vogliamo anche Tetris era di per sé un rompicapo, ma ciò che distingue questi giochi è che presentano problemi di tipo matematico/logico, la cui soluzione (nella maggior parte dei casi, almeno) è ottenibile con un processo rigoroso di dimostrazione. In un oceano di sparatutto e GDR, sono esempi nobili di come anche i videogiochi possano veicolare l’interesse per la matematica e la logica. A dire il vero non dovrebbe stupire, visto che sfidarsi a risolvere problemi matematici è un’abitudine antica. La matematica disfida cui si è accennato prima, consisteva nel proporre al proprio avversario un insieme di problemi, una cui copia era anche fornita a un gruppo di testimoni e ai giudici. Alla giuria spettava il compito di decretare la vittoria dell’uno o dell’altro. Tartaglia, nella sfida del 1535 contro Antonio Maria del Fiore, risolse però i problemi propostigli in sole due ore mentre il suo avversario ancora non aveva fornito alcun risultato, vincendo così senza alcun dubbio la sfida. Oggi conserviamo in qualche maniera il ricordo di queste sfide nelle varie competizioni scolastiche e non legate al mondo della matematica, come le International Mathematical Olympiad (IMO) o i Giochi Matematici organizzati ogni anno dall’Università Bocconi.

Il logo delle International Mathematical Olympiad, una competizione che parte dai singoli istituti (licei o High School) e consente ogni anno ai più meritevoli allievi delle differenti nazioni di sfidarsi in una competizione mondiale.

Successioni e serie numeriche: piccoli passi verso la meta

Di tipologie di problemi se ne possono inventare una quantità quasi infinita e di difficoltà diversa, anche a seconda del pubblico cui sono rivolti. Nella già citata serie del Professor Layton si trovano problemi di ottimizzazione, di logica, di calcolo… Nelle Olimpiadi della Matematica ci si spreca tra teoria dei numeri, probabilità, geometria piana e solida… Ogni argomento ha una sua teoria e parlare di tutto sarebbe un’impresa mastodontica, oltre che già compiuta nei più disparati testi universitari e specialistici. Alcuni casi però si ripetono più spesso e fanno capo a regole più semplici o comunque più intuitive. Tra questi troviamo i problemi con successioni o serie numeriche. Una successione in matematica è una legge che associa ad ogni numero naturale N (1,2,3,…) un valore an reale. Una serie è, invece, il modo in cui i matematici calcolano la somma degli infiniti termini di una successione, di fatto passando attraverso il limite delle cosiddette somme parziali. Per fare un esempio, i numeri di Fibonacci costituiscono una successione in cui ogni numero è la somma dei due che lo precedono nella successione: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Un’applicazione, invece, delle serie è il paradosso di Zenone che parla di Achille e la Tartaruga (Achille è più veloce della tartaruga, ma questa parte con un vantaggio): a seconda dei dati iniziali e delle versioni del problema, i risultati cambiano leggermente, ma in generale si tratta sempre di sommare infiniti contributi sempre più piccoli che si scopre convergere a un valore finito. Dilungarsi oltre sulle definizioni e sulle regole operative sarebbe pesante, ma limitiamoci a definire il metodo. In generale si deve prima cercare la regola della successione se non è data, ad esempio: ogni numero è il doppio del precedente; ogni numero è un quadrato perfetto e sono ordinati in maniera crescente; il termine k-esimo della successione è pari a log(n-2)… Se l’obiettivo è conoscere il valore del k-esimo termine… la soluzione c’è già. Se si devono, invece, sommare i vari contributi, si prosegue per somme parziali e si cerca una regola generale per l’andamento della successione di queste somme. Ad esempio, prendiamo la successione 1/(2^n). La prima somma parziale è di fatto il primo termine, 1/2. Poi si sommano primo e secondo, ottenendo 1/2 + 1/4 = 3/4. Procedendo si troveranno 7/8, 15/16 e così via. Notiamo che la n-esima somma parziale è pari a 1 – 1/(2^n). Per chi mastica di analisi matematica, è evidente che quando n tende a infinito, la somma tende a 1. Per gli altri, osserviamo che più n è grande, più 2^n lo è e al contrario 1/(2^n) si avvicina sempre più a zero. La somma così si avvicinerà sempre più a uno.

Il paradosso di Achille e la Tartaruga è spesso usato per parlare di serie numeriche, anche se impropriamente. Dicendo che Achille corre a 10 m/s e la tartaruga a solo 1 m/s, ad esempio, se la tartaruga parte con 10 metri di vantaggio vediamo subito che dopo due secondi Achille ha percorso 20m e la tartaruga 2, arrivando a 12. Achille l’ha superata da un po’, ma ciò non sminuisce l’efficacia dell’esempio.

Tabelle di verità: cavalieri sinceri e furfanti bugiardi

Un altro caso emblematico sono i problemi che ci pongono davanti a una serie di personaggi di cui alcuni mentono e altri dicono la verità e sta a noi risolvere il caso senza sapere chi siano i bugiardi. Un esempio tipico si fa con cavalieri che dicono sempre la verità e furfanti che mentono sempre o con indiziati che si accusano a vicenda. In questi casi, in matematica si fa ricorso alla logica, ovvero lo studio di inferenze valide in un certo linguaggio formale. Per farla semplice, si tratta di verificare se da una proposizione assunta come vera discenda necessariamente un’altra o no. Ad esempio, se assumiamo che sia vero che o c’è il sole o piove (un caso esclude l’altro), possiamo affermare sicuramente che non ci saranno mai il sole e la pioggia insieme. Meno banalmente, possiamo dire che (nel caso in cui siano le sole due alternative) se non piove, allora c’è il sole. Questa successione di se e allora è di fatto l’ossatura di tutti i problemi di questo tipo, in cui attribuendo arbitrariamente un valore di verità ad alcune proposizioni, se ne deducono rigorosamente gli altri e si verifica se c’è un’incongruenza, un paradosso, oppure no. Ciò si fa con le cosiddette tabelle di verità, molto usate anche nel campo dell’informatica. In pratica si mettono nelle prime colonne le proposizioni in gioco e si scrivono tutte le combinazioni di Vero e Falso. Poi si risolvono le espressioni Booleane (logiche) associate e si analizzano i risultati. A dire il vero procedere esattamente così non è semplice, ma si può fare un uso creativo delle tabelle per adattarle ai propri scopi. Prendiamo il seguente caso: ci sono cinque persone A,B,C,D,E e nell’ordine affermano: “solo uno di noi mente”, “esattamente due di noi mentono”, “esattamente tre di noi mentono”, “esattamente quattro di noi mentono” e “tutti noi mentiamo”. Vogliamo sapere chi mente, quindi costruiamo la nostra tabella. In maniera un po’ controintuitiva associamo a una frase alla volta il valore di verità e da essa troviamo gli altri valori, per confrontarli con le rispettive frasi e individuare i paradossi. Sia E a dire il vero: nella casella di E scriviamo Vero e anche sotto la frase “tutti noi mentiamo”. Tale frase, se vera, significa che dovremmo trovare sotto ogni lettera A,B,C,D,E “Falso”, ma sotto E c’è già Vero, quindi E (se esiste una soluzione) deve mentire. Poniamo ora che A dica il vero: sappiamo che E mente, quindi deduciamo che A,B,C e D dicono il vero. Ma non è possibile che contemporaneamente le loro proposizioni siano tutte vere. Allora A sarà bugiardo. Continuando così scopriamo in fretta che l’unico caso accettabile è quello in cui è solo D a dire il vero: infatti, gli altri quattro staranno mentendo, in perfetto accordo con la logica. In generale, questi ragionamenti li vediamo applicati spesso. Un caso celebre è il gioco da tavolo Cluedo, in cui alle proposizioni “il colpevole è questa persona, con quest’arma e in questa stanza” diamo un valore di verità in base al fatto che gli indizi forniti dagli altri giocatori attribuiscono inconfutabilmente un valore Falso a certe combinazioni.

I rompicapo sono infiniti e questo non è il luogo di affrontarli tutti, ma in fondo la lezione è una soltanto: farne quanti più si può e scoprire cosa ci sta dietro, per assimilare la teoria, farla propria e saperla riapplicare in quanti più casi possibile. Solo vedendo tante sfumature dello stesso argomento si può riuscire a coglierne la vera essenza e diventare dei veri Professor Layton, sempre in cerca di nuovi succulenti puzzle da risolvere.

Nel caso nell’immagine, se sotto A,B o C c’è V (vero) quella persona è laureata. Siccome la prima proposizione è valida, scartiamo il caso in cui nessuno sia laureato. Procediamo poi a verificare quando vale la seconda, la terza e così via. E’ un altro modo di usare le tabelle di verità.

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