Dungeons & Dragons e la probabilità: come costruire matematicamente dadi poliedrici bilanciati

Da un articolo del 1989, arriva la risposta sul perché e come possiamo costruire dadi con più di 6 facce

 

Tipicamente con la parola dado indichiamo un piccolo cubo con le facce numerate da uno a sei, ma i giochi di ruolo ci mostrano che le possibilità sono molto più ampie e la matematica ci spiega perché.

Una breve storia dei giochi coi dadi

Nella cultura popolare il dado è simbolo di casualità e fortuna e la sua immagine tipo è quella di cubo, poiché per buona parte della storia è stato il tipo più utilizzato. I dadi si sono evoluti, infatti, dagli astragali: piccole ossa ricavate dal tarso posteriore di capre o montoni, dalla forma vagamente cubica. Usati anche nelle pratiche divinatorie, il gioco era molto apprezzato presso Greci e Romani e consisteva nel lanciare in aria un numero via via crescente di ossicini cercando di raccoglierne uno ulteriore prima di riprenderli al volo. Dal Medioevo in avanti i dadi sono poi diventati un pratico mezzo per organizzare giochi d’azzardo ed oggi fanno il loro lavoro in molti casinò. Tuttavia, non tutti sanno che già presso i Sumeri erano in uso dadi diversi, per la precisione tetraedrici. Il  gioco reale di Ur, di cui i primi reperti furono portati alla luce in Iraq tra il 1926 e il 1930, assomiglia al backgammon moderno ed era spesso associato a scommesse di qualche sorta. Si riporta qui sotto un video realizzato dal British Museum, in cui figura anche Irving Finkel, il filologo che ha decifrato il regolamento del gioco. Ad oggi, i dadi poliedrici hanno assunto un nuovo fascino grazie ai giochi di ruolo, o GdR, dove sono usati per creare un effetto aleatorio più o meno marcato da applicare alle azioni dei giocatori. Il più conosciuto di essi è sicuramente Dungeons & Dragons, oggetto di un rinnovato interesse grazie anche a serie TV come Stranger Things o podcast online come quelli realizzati dal gruppo italiano FumbleGDR, e fa uso essenzialmente di sei tipi di dado: a 4, 6, 8, 10, 12 e 20 facce.

Dadi bilanciati: teoria delle probabilità e geometria si fondono per garantire il divertimento di tutti

Di solito la prima cosa che ci si chiede quando si vedono dei dadi poliedrici che non hanno sei facce è: ma come fanno a funzionare? La risposta è banale: esattamente come quelli a sei facce. Il punto è che in ogni caso un dado andrà lanciato e si leggerà il numero sulla faccia rivolta verso l’alto. La questione veramente interessante è scoprire quante possibilità esistono per costruire dadi fantasiosi ma che restino bilanciati, ovvero per i quali ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire. In tal senso, allora, occorre partire dalla definizione di bilanciato. Sull’ American Mathematical Monthly, nell’aprile del 1989, si trova un articolo di Persi Diaconis e Joseph B. Keller, provenienti rispettivamente da Harvard e Stanford, in cui il problema è preso in esame. Per dado bilanciato, secondo i due studiosi, si intende un poliedro il cui gruppo di simmetria agisce transitivamente sulle facce. Ciò significa che l’insieme delle riflessioni e delle rotazioni associate al solido è tale che combinando una o più mosse si possa sempre portare una data faccia nell’esatta posizione di un’altra senza effettivamente modificare la posizione nello spazio del solido. Uno studio accurato porta alla scoperta che i dadi bilanciati sono ricavati dai solidi archimedei e da quelli platonici, nonché dai rispettivi duali. I primi sono un gruppo di 13 solidi le cui facce sono poligoni regolari non necessariamente tutti uguali e che godono di una proprietà tale per cui ciascuna coppia di vertici esiste una simmetria che porta il primo nel secondo. I secondi, che sono 5, sono più conosciuti e le loro facce sono poligoni regolari tutti uguali: dai triangoli equilateri si ricavano il tetraedro regolare, l’ottaedro regolare e l’icosaedro regolare; dai quadrati si ricava l’esaedro regolare o cubo; dai pentagoni regolari si ottiene il dodecaedro regolare. In realtà, ad essi si possono ancora aggiungere alcune categorie: i dadi ricavati dai prismi, dagli anti-prismi e dalle dipiramidi (due piramidi congruenti aventi le basi sovrapposte), dalle quali eventualmente si possono tagliare le punte con piani paralleli a quello delle basi. E’ intuitivo notare che se una forma simile ha un aspetto particolarmente allungato, la probabilità che le facce più piccole, che qui chiameremo impropriamente basi, esano è molto bassa. Se, invece, l’aspetto è più tozzo o schiacciato essa è molto alta, fino al caso limite della moneta, per la quale convenzionalmente si assume che abbia solo due facce, ciascuna con la probabilità di uscire il 50% delle volte. Costruendo una funzione che esprime la probabilità che una di tali facce esca, si nota che per continuità esiste un punto esatto, un insieme di proporzioni, per cui l’oggetto è bilanciato: ogni faccia ha nuovamente la stessa probabilità di uscire. Tuttavia, nonostante la rigorosità della teoria, ogni giocatore di ruolo sa che non importa se tiri un d4, un d10 o un d20, perché alla fine nei momenti importanti il risultato sarà sempre 1…

Un’insieme rappresentativo delle forme dei dadi bilanciati (fonte: https://www.youtube.com/watch?v=8UUPlImm0dM, video in cui a parlare è proprio Persi Diaconis)

Dadi truccati e bari: quando la teoria è messa in pratica, i risultati cambiano

Nella realtà non è tutto semplice come nella teoria. Innanzitutto, il dado è un oggetto fisico e pertanto soggetto a tutti quei principi della meccanica che ne determinano il movimento una volta lanciato. Immaginando di descrivere il lancio con un certo numero di parametri, per esempio 12, ogni combinazione di essi darà un risultato preciso: in uno spazio 12-dimensionale, per un dado a otto facce esistono 8 regioni ciascuna corrispondente a un risultato. Un lancio onesto presuppone che non sia prevedibile, salvo che non si disponga di un ottimo calcolatore e di ottimi sensori, il risultato: se il dado ruota soltanto attorno ad un asse normale al piano, ad esempio, sicuramente terminerà il suo movimento mostrando in alto la stessa faccia che mostrava prima del lancio. Ogni giocatore al tavolo vuole chiaramente vincere la partita ed è per questo motivo che i casinò, ad esempio, impongono regole specifiche o adottano sistemi di prevenzione. Nel gioco del  craps i giocatori sono obbligati a far battere durante il loro lancio i dadi sul bordo del tavolo, che è rivestito di una superficie in gomma coperta da piramidi a base quadrata, cosicché il tiro diventi automaticamente imprevedibile. Allo stesso modo, occorre tener conto dei fattori che fan sì che il dado rimbalzi in una certa maniera: è ben diverso far cadere un dado nella melassa rispetto a lanciarlo su un tavolo in legno. Al contempo, il dado stesso potrebbe essere truccato: angoli smussati, pesi interni che ne variano il baricentro sfavorendo o avvantaggiando alcune facce… sono tutti modi per sfuggire all’onestà che un tiro dovrebbe avere. Ingenuamente, un dado potrebbe essere meno bilanciato per sua stessa fattura: se i numeri sulle facce sono scavati e gli intagli non sono riempiti di un materiale che abbia la stessa densità del resto del dado (come avviene sempre nei casinò), il baricentro risulterà leggermente sbilanciato. Non si creda, però, che un dado sia truccato solo perché si ha sfortuna: ogni tiro è indipendente dagli altri e quindi, anche se ultimamente avete continuato a tirare 1 naturale e il goblin di fronte a voi vi ha fatto la festa, c’è sempre la speranza che esca un buon risultato.

Dadi da casinò, i cui si osservano la trasparenza per evitare meccanismi interni e il riempimento uniforme dei cerchi sulle facce

 

Leave comment

Your email address will not be published. Required fields are marked with *.

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.