La logica da sempre accompagna l’uomo ma da tempi relativamente recenti è stata formalizzata. Oggi vedremo cinque autori che ne hanno cambiato il corso.
La logica è antichissima ed è una delle branche più interessanti della filosofia. Da poco più di un secolo la logica ha cambiato completamente modo di esser studiata divenendo una materia formale e iniziando ad essere applicata anche alla matematica. Oggi vedremo cinque logici che hanno lasciato un’impronta fondamentale nella storia di questa disciplina.
1. Boole
George Boole è un matematico inglese nato intorno al 1815 e morto nel 1864. Fu autodidatta in matematica, logica e filosofia. La sua opera più importante è Indagini sulle leggi del pensiero dove egli introduce l’idea di trattare le proposizioni logiche come se fossero degli oggetti matematici e, di conseguenza, manipolabili tramite regoli di manipolazioni formali. Così nasce l’algebra booleana.
Le algebre di Boole sono capitali per lo studio della logica classica ed infatti si è dimostrato, in seguito, che l’algebra di Lindenbaum di ogni sistema assiomatico basato sulla logica classica risulta essere un’algebra di Boole.
L’esempio più famoso, e semplice, di un’algebra di Boole è l’algebra dei valori di verità: sistema di logica simbolica che si basa su due valori di verità, vero e falso; e introduce tre operatori logici fondamentali: congiunzione, disgiunzione e negazione.
Ulteriore passo importante è la dimostrazione che le algebre di Boole possono essere applicate a questioni come l’analisi di ragionamenti e valutazione di formule logiche. Da qui in avanti si aprirà la strada per la logica matematica e le sue idee ancora oggi sono applicate e trovano campo nella teoria dei circuiti e nell’informatica.
2. Frege
Friedrich Ludwig Gottlob Frege è stato un filosofo, matematico e logico tedesco. Possiamo considerare Frege come il vero padre della logica: mentre Boole ha solo dato una interpretazione matematica alla logica classica, Frege si pone l’obiettivo di riformare la logica e riuscire ad andare oltre la logica classica, creando la logica del primo ordine.
Con Frege si passa dalla logica dei predicati alla logica delle relazioni. Fu il primo a capire che si necessita di una logica e un calcolo delle relazioni. Così la logica diventa più ampia e io posso avere a che fare con un numero qualunque di soggetti. Con questo salto abbiamo un nuovo modo di osservare i quantificatori ∀ (quantificatore universale) e ∃ (quantificatore esistenziale) che rendono molto più complessa e ricca la logica, permettendo di avere nuovi sviluppi per la disciplina e riuscendo a superare i limiti dei sistemi logici precedenti.
Il logico tedesco è uno dei protagonisti della crisi dei fondamenti della matematica ed è l’iniziatore del logicismo: lui pensava che la matematica si fondasse sulla logica grazie all’utilizzo della teoria degli insiemi di Cantor e in particolare dell’assioma di comprensione (introdotto proprio da lui) che dice: per ogni proprietà φ(x), esiste un insieme che contiene esattamente gli oggetti che soddisfano la proprietà φ. Purtroppo Frege vedrà il suo stesso progetto di vita fallire per colpa del paradosso di Russel, allievo di Frege ed esponente del logicismo, che dice: R appartiene a se stesso? Se R appartiene a se stesso, allora secondo la definizione di R, non dovrebbe appartenere a se stesso. D’altra parte, se R non appartiene a se stesso, allora R dovrebbe appartenere a se stesso, secondo la definizione di R.
Nonostante questo fallimento, verrà dimostrato da Gödel, nel suo teorema di completezza, che la logica del primo ordine di Frege è completo.
3. Gödel
Kurt Gödel è un logico statunitense di origine austriaca. È una delle figure più importanti della logica se non il più grande logico della storia, ancora oggi c’è dibattito se sia Aristotele o il logico austriaco. Ogni risultato che ottenne in qualche maniera ha rivoluzionato il mondo della logica e della matematica. È famoso soprattutto per: teoremi d’incompletezza e il teorema di completezza.
Il teorema di completezza, detto in maniera semplice, dimostra la completezza della semantica del calcolo dei predicati. Vale a dire che tutte regole di deduzione permettono di dimostrare tutte le formule logicamente valide. Esiste anche una sua versione più generale. Assieme al teorema di correttezza si può concludere che una formula è logicamente valida se e solo se è dimostrabile.
Altro teorema fondamentale è il teorema d’incompletezza. Il teorema di incompletezza viene esposto nello scritto Proposizioni formalmente indecidibili dei “Principia mathematica”. Il suo attacco polemico sono proprio i Principia Mathematica di Russel. I teoremi di incompletezza sono un caso unico in quanto “attacca” l’aritmetica stessa. Il primo teorema d’incompletezza dice: in ogni teoria matematica T che contiene tutta l’aritmetica, esiste una formula φ tale che, se T è coerente, allora né φ né ¬φ sono dimostrabili in T. Con questo si è dimostrato che T è incompleto. Il secondo teorema dice: ogni sistema formale contenente l’aritmetica (T) non riesce a dimostrare la sua stessa coerenza. Con questo secondo teorema crolla il programma hilbertiano (dimostrare la non-contraddittorietà di tutta la teoria formale dei numeri sfruttando l’aritmetica finalistica). Questa scoperta cambierà totalmente il modo di vedere la matematica con importanti conseguenze nella filosofia della matematica e nella logica matematica. Ponendo fine a qualsiasi tentativo di fondare la matematica sulla logica.
Un problema su cui si concentrò Gödel fu l’esistenza di Dio. Egli prova a dimostrare con la logica formale l’esistenza di Dio tramite la matematica, seppur un lavoro minore è ancora oggi oggetto di dibattito.
4. Tarsky
Alfred Tarsky è un logico e matematico polacco. Egli è celebre per la metamatematica, la semantica e la teoria dei modelli. Uno dei problemi di cui si è occupato è quello di definire la verità.
Stabilisce due condizioni di adeguatezza per una definizione di verità: formale, definizione non deve generare contraddizioni, e materiale, una definizione per un linguaggio L deve rendere deducibili tutti gli enunciati della forma “N è vero (in L) se e solo se p” (N è un enunciato in L e p è la sua traduzione nel metalinguaggio in cui la definizione è formulata). In seguito egli formulò una definizione di verità e mostrò che era conforme ai suoi due criteri.
Altra cosa per cui ricordare Tarsky è il teorema di indefinibilità: in nessun linguaggio formale, contenente la teoria ricorsiva dei numeri, è definibile la nozione di verità. Questa dimostrazione limita capacità espressive di un sistema formale, ponendosi in continuità con Gödel. Per arrivare a questa conclusione Tarsky prenderà in esame anche il paradosso del mentitore, e più in generale qualunque paradosso autoreferenziale, riuscendo a dare una sorta di soluzione tramite il meta-linguaggio.
5. Kripke
Saul Kripke è un filosofo e logico americano nato nel 1940 e morto nel 2020. Il suo contributo più importante fu quello di dare una semantica alla logica modale utilizzando il concetto di mondo possibile. Questo ha creato moltissime controversie in ambito filosofico: quando si parla di necessario si dice che in tutti i mondi possibili si verifica quella cosa mentre quando si parla di possibile si implica che c’è almeno un mondo possibile in cui quella cosa sussiste. Da qui in poi in filosofia si riprende il concetto di mondo possibile e si avranno importanti conseguenze metafisiche tra cui il dibattito più accesso in questo ambito e se i mondi possibili effettivamente esistono.
Oltra alla semantica egli applicò il suo metodo modellistico ad altri sistemi di logica modale e logica intuizionistica influenzando in modo determinante lo studio del significato nelle lingue naturali (italiano, francese, tedesco…)
