Breaking news: il “Chuck Norris dei numeri” è stato dimostrato con il “Teorema di Sheldon”

Negli ultimi giorni la notizia ha cominciato a rimbalzare in giro per la rete: il 73 è veramente “il Chuck Norris dei numeri”. Andiamo con ordine.

Nel 73esimo episodio della nota serie tv “The Big Bang Theory” il fisico teorico Sheldon Cooper, durante una cena con gli amici Leonard Hofstadter, Howard Wolowitz e Rajesh Koothrappali chiede se fossero a conoscenza del numero più completo. Al silenzio degli amici il fisico della Caltech cita il 73. Il perché è presto detto: il 73 è il 21-esimo numero primo, il prodotto dei suoi numeri (7*3, anch’essi numeri primi) fa 21. Inoltre il suo speculare, il 37, è il 12-esimo numero primo. Come se non bastasse se convertissimo il 73 in binario (1001001) otterremmo un numero palindromo, cioè che possiamo leggere sia da destra che da sinistra alla stessa maniera.

Sheldon nell’episodio 73

Leonard lo definisce sarcasticamente “il Chuck Norris dei numeri”. Effettivamente non sbagliava, infatti due matematici, Carl Pomerance e Chris Spicer, si sono presi la briga di dimostrare l’unicità di questo numero. E ci sono riusciti.

La congettura di Sheldon

Per ottenere il risultato i matematici hanno innanzitutto deciso di definire il problema: siano quindi n e pn rispettivamente l’indice e il valore dell’n-esimo numero primo. Un numero primo di Sheldon è quindi definito da due proprietà:

  1. “Product property”, cioè il prodotto dei termini in base dieci di pn deve essere uguale a n;
  2. “Mirror property”, cioè, definita la funzione rev come l’inverso del numero in input (esempio: rev(73)=37), si ha che rev(pn) = p_rev(n).

Il teorema di Sheldon

Da questo punto in poi verranno proposti i punti salienti della dimostrazione. Si rimanda al paper originale per una versione completa, essendo la dimostrazione troppo complessa per gli obiettivi dell’articolo.

Ad ogni modo definiamo π(x) per denotare i numeri primi nell’intervallo [2,x]. Osservando le tabelle di numeri primi è possibile notare che essi tendano a zero tanto più il valore sale. Per essere rigorosi possiamo quindi scrivere lim_x→∞ π(x)/x = 0. Sappiamo pure il ritmo al quale il rapporto va a zero. Esso è definito nel teorema del numero primo che dice:

dove log è il logaritmo naturale. Inoltre è possibile dimostrare che π(x) è più grande di x/log(x). Volendolo fare numericamente possiamo ottenere il risultato di Rosser e Schoenfeld: π(x) > x /log (x)  per ogni x ≥ 17.

Da questa definizione è possibile dimostrare quella che nel paper è la “proposizione 2”. Essa impone un limite per i numeri primi che hanno la product property a 10^45.

Da ciò gli autori dello studio hanno utilizzato una funzione dell’ambiente di calcolo multipiattaforma Mathematica per individuare i numeri primi con la product property inferiori a 10^10, in quanto andare oltre quel numero avrebbe portato a dei tempi di calcolo insostenibili. Da questa prima “scrematura” solo tre numeri soddisfano la condizione: p7=17, p21=73 e p181.440=2.475.989. Di questi tre solo il 73 possiede anche la mirror property.

Per gli altri numeri vengono fatte svariate considerazioni in modo da ridurre il campo il più possibile. Vengono enunciate 8 proprietà (proposizione 4), vengono posti dei limiti e vengono enunciati 5 lemmi (dal lemma 5 al 10).

Alla fine questi “strumenti” vengono utilizzati per escludere tutti i numeri primi più grandi di 10^10, insieme alla mirror property. Rimane così solo il 73, l’unico numero primo di Sheldon.

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