La crittografia moderna ed i sistemi politici crollerebbero se l’ipotesi di Riemann venisse dimostrata

La crittografia rivolve attorno all’apparente disposizione casuale dei numeri primi: diventerebbe una tecnica obsoleta qualora l’ipotesi di Riemann venisse dimostrata.

L’ipotesi di Riemann permetterebbe di prevedere il posizionamento dei numeri primi nella linea dei numeri interi così consentendo di predire numeri primi molto grandi. Questo farebbe tremare tutto il sistema di crittografia moderno: in questo articolo ne esploriamo le conseguenze.

Il funzionamento della crittografia

La crittografia riguarda la teoria dei numeri e tutti i numeri interi (tranne 0 e 1) sono costituiti da numeri primi, quindi nella teoria dei numeri hai a che fare molto con i numeri primi. Più specificamente, alcuni importanti algoritmi crittografici come RSA dipendono in modo critico dal fatto che la fattorizzazione primi di grandi numeri richiede molto tempo. Fondamentalmente hai una “chiave pubblica” costituita da un prodotto di due grandi numeri primi utilizzati per criptare un messaggio e una “chiave segreta” composta da quei due numeri primi utilizzati per decriptare il messaggio. Puoi rendere pubblica la chiave pubblica e tutti possono usarla per criptare i messaggi per te, ma solo tu conosci i fattori principali e puoi decriptare i messaggi. Tutti gli altri dovrebbero calcolare il numero, che richiede troppo tempo per essere pratico, dato l’attuale stato dell’arte della teoria dei numeri.

Uno sguardo sulla teoria dei numeri

Ci sono molti problemi di teoria dei numeri che possono essere facilmente compresi dai non matematici, il che è una grande parte dell’appello; se non sei un matematico, ma hai un interesse per l’argomento, è possibile comprendere le basi di molti problemi interessanti senza molte conoscenze tecniche. Uno dei migliori esempi è la cosiddetta Congettura di Collatz, che fu formulata per la prima volta da Lothar Collatz nel 1937. La Congettura di Collatz ha a che fare con una sequenza apparentemente banale di operazioni eseguite su qualsiasi intero positivo: 1,2,3 e presto. Se il numero è dispari, lo moltiplichi per 3 e aggiungi 1; se il numero è pari, dividi per due. (La congettura è talvolta chiamata problema 3n+1). La parte della congettura della Congettura è che non importa con cosa inizi, finirai sempre di nuovo a 1 e in effetti, questo sembra essere vero (si è dimostrato vero per qualsiasi numero che qualcuno abbia mai provato) ma finora c’è nessuna prova nota per tutti i casi.

Spiegazione matematica dell’ipotesi di Riemann

Tuttavia, l’ipotesi di Riemann è molto più complicata. L’ipotesi di Riemann ha a che fare con la funzione zeta di Riemann, che si basa su una funzione molto semplice: f(n) = 1/1ⁿ + 1/2ⁿ + 1/3ⁿ … e così via. Nella funzione zeta, n non è solo un semplice intero, ma è un numero complesso. I numeri complessi hanno la forma a + bi, in cui a e b sono numeri reali, e i è la soluzione di x² = -1. Non esiste un numero che soddisfi la condizione per x, poiché non esiste una possibile radice quadrata di numeri negativi – da qui il termine “numero immaginario” per qualsiasi numero della forma b x i (un numero reale moltiplicato per l’unità immaginaria i). Si scopre che nonostante il nome, puoi fare un sacco di utili calcoli matematici con numeri immaginari e li trovi spuntare in tutto, dalla meccanica quantistica all’elettromagnetismo, alla relatività e alla dinamica dei fluidi.

L’interesse matematico dell’ipotesi di Riemann

Il motivo per cui questi sono interessanti per i matematici è perché la distribuzione degli zeri non banali sembra essere collegata alla distribuzione dei numeri primi. Un numero primo è qualsiasi numero maggiore di 1 che non puoi produrre moltiplicando due numeri più piccoli; 7 e 29 sono esempi. Man mano che i numeri primi diventano più grandi, iniziano a esserci sempre più numeri tra di loro, ma non si esauriscono mai del tutto; Euclide ha dimostrato che esiste un numero infinito di numeri primi più di 2000 anni fa. Il numero di numeri primi inferiore a un dato numero, inserito in un grafico, ti dà una curva che all’inizio sale bruscamente, ma poi inizia a livellarsi man mano che gli spazi tra i numeri primi diventano sempre più grandi. Un eventuale dimostrazione quindi farebbe crollare tutto il moderno sistema di protezione dei dati, esponendo informazioni personali ad un ampio pubblico, informazioni come i dati delle carte di credito e le informazioni delle cartelle sanitarie, ma anche come le comunicazioni interpersonali. Questo chiaramente farebbe tramare i più potenti governi e metterebbe in crisi tutto il sistema politico.

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