Uno per volta, con il passare delle ore e una sensazione di calma, i fiocchi di neve si posano e subito dopo è possibile ammirare il paesaggio imbiancato dalla natura stessa. Eppure sotto questa affascinante visione è conservata l’ineguagliabile semplicità della natura: un fiocco di neve è formato dal ripetersi di una struttura che nella matematica è chiamata frattale.

Come si forma un fiocco di neve?

L’ambiente ideale affinché un bel fiocco di neve si formi consiste nelle basse temperature e nelle condizioni di umidità, le quali fanno partire un processo che ha inizio solitamente da un esagono. La motivazione è da ricercarsi nella struttura che assumono le molecole di acqua, piccole goccioline sospese in aria, con il diminuire delle temperature. Infatti gli atomi di idrogeno e ossigeno che costituiscono queste goccioline assumono una forma ordinate e perfetta chiamata cristallo, che si ripete ‘infinitamente’ nello spazio. Questo è ciò che fornisce il fattore trasparenza.

I fiocchi di neve assumono una diversa struttura in base alle condizioni di umidità e temperatura (www.caltech.edu).

Partendo da un esagono centrale, quindi vengono a formarsi su di esso delle strutture che si ripetono e si estendono nello spazio per creare un fiocco di neve dalle dimensioni di circa mezzo centimetro. Tuttavia come anticipato questo processo è influenzato dalle diverse combinazioni di temperatura e umidità che tendono a far disporre gli atomi in maniera differente e questo restituisce le diverse possibilità a disposizione per la formazione. Questo non è un processo così perfetto come descritto: infatti nell’incessante moto delle particelle nell’atmosfera, alcune molecole di aria possono rimanere intrappolate in queste strutture e quello che si ottiene è un fiocco, non trasparente, ma bianco come.. la neve!

Cos’è un frattale?

Ma come possiamo estrarre della matematica da tutto questo pattern ordinato di formazione, apparentemente caotico per l’occhio umano? i frattali sono oggetti geometrici dotati di una struttura interna che si ripete nello spazio dando quindi la caratterista che in ogni punto, non importa da quale, la si osserva otterremo sempre la stessa immagine. Queste particolari strutture sono studiate dalla geometria non euclidea, e spesso sono rappresentate da semplici equazioni ricorsive descritte con i numeri complessi. Questi oggetti vengono utilizzati in sistemi dinamici della teoria del caos, teoria nella quale un sistema si evolve apparentemente in modo caotico, ma in realtà esso è comunque governato da leggi deterministiche. Il termine ‘frattale’ è stato inventato nel 1975 dal matematico Benoît Mandelbrot, e così esso descriveva la bellezza che ne risultava:

Meraviglie senza fine saltano fuori da semplici regole, se queste sono ripetute all’infinito“.

Lo stesso sostiene che i frattali sono molto simili alla struttura delle mente umana e quindi molto affascinanti, nonché familiari, da osservare. Da esso furono creati molti frattali che hanno anche delle relazioni con gli insiemi di Julia, ovvero dei sistemi che si evolvono e modificano drasticamente e caoticamente dopo diverse iterazioni della funzione, come è possibile osservare in questo video.
Mentre, una delle prime curve frattali che si conoscono è la curva di Koch.

Esempio della curva di Koch dopo un certo numero di iterazioni del processo (www.math.ubc.ca).

Come si può costruire un frattale?

Esistono diversi processi iterativi che permettono di ottenere figure singolari nella loro bellezza. Il matematico svedese Helge Von Koch nel 1904, ben prima che il termine ‘frattale’ fosse coniato, pubblicò un documento nel quale spiegava la costruzione di una curva continua ottenuta da una costruzione geometrica elementare. In effetti si può riassumere il procedimento in tre passi. Il primo consiste nel prendere un segmento di una data lunghezza e dividerlo in tre segmenti uguali; il secondo passo è cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero; infine bisogna ripetere il procedimento dal primo passo per ognuno degli attuali segmenti ottenuti. Come spesso accade, la spiegazione a parole di tali procedure rende poco, se non affrontata visivamente:

Ognuna delle cinque figure rappresenta il processo iterativo per ottenere la curva di Koch. La prima figura è il segmento al quale è stato già applicato il secondo passo per la prima volta (https://fractalfoundation.org).

In un modo analogo a questo si posso effettivamente creare delle curve parametrizzabili matematicamente come una funzione continua su un intervallo per ogni iterazione del ciclo, e ottenere quindi delle strutture molto complesse che a volte possono sembrare caotiche, ma che conservano in loro una ben precisa struttura rigorosa. Si potrebbe pensare inoltre che se l’iterazione venisse fatta all’infinito, è possibile fare uno zoom in avanti senza sosta e ottenere sempre una curva con la stessa struttura.

Fedele Delvecchio

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