Il Superuovo

Alle feste aggiungi un posto a tavola per Hilbert e i suoi infiniti amici

Alle feste aggiungi un posto a tavola per Hilbert e i suoi infiniti amici

I paradossi dell’infinito sono tali perché l’infinito è una quantità bizzarra, ma le feste di Natale potrebbero aiutarci a capirne qualcuno

Il simbolo dell’infinito, interpretato artisticamente da Escher come nastro di Moebius nell’opera Nastro di Moebius II (1963).

L’infinito è una quantità strana, che non si comporta come gli altri numeri finiti e che spesso sembra autocontraddirsi. Molte nostre domande però lo chiamano in causa. L’universo è infinito? Come si comporta una certa funzione all’infinito? La nonna avrà preparato un cenone di Natale con infinite portate? Vediamo allora qualche paradosso da tirare fuori alle cene in famiglia, sempre che siate disposti a farvi guardare male dai parenti.

Il paradosso di San Pietroburgo: altro che tombolata!

Quando Nicolas Bernoulli lo inventò nel 1713 probabilmente non aveva in mente la tombola o il poker con la famiglia a Natale o Capodanno, ma nulla vieta che possiamo avvalercene oggi per fregare qualche soldo in più ai parenti che hanno alzato un po’ il gomito. Il paradosso si basa in sostanza su un gioco di scommesse in cui si punta una quantità finita di denaro, ma la vincita attesa è infinita. Il nome viene dal fatto che nella formulazione originale si faceva svolgere il gioco in un fantomatico casinò di San Pietroburgo. Il gioco funziona così. Per partecipare a una giocata si punta una quantità finita di denaro, qualunque essa sia (per comodità usiamo numeri naturali, quindi interi). Poi si tira una moneta finché non esce croce. Se esce croce al primo tiro si vince 1, se esce testa si raddoppia la vincita al tiro successivo e così via. L’andamento della vincita è quindi esponenziale come 2k-1 dove k è il numero di lanci effettuati quando esce croce: 1,2,4,8,16,32… Qualcuno avrà già fiutato il sotterfugio: ovviamente, ad ogni lancio la probabilità che esca croce è del 50% (1/2) e più tiri si fanno più è probabile che al successivo il gioco si arresti (per la precisione, la probabilità che esca croce al k-esimo tiro è 1/2k).

Il grafico (fonte: wikipedia) mostra l’andamento della vincita media all’aumentare delle partite giocate. Si osservi come curiosamente più si gioca, più si vince.

Quanto siete disposti a scommettere?

Facciamo però attenzione al valore atteso: calcolandolo similmente a una media ponderata si ha 1/2 *1 + 1/4 *2 + 1/8 *4 +… che si riscrive come sommatoria da 1 a infinito di 1/2. Tale sommatoria diverge e ciò significa che la vincita attesa è infinita, ma solo con infinite giocate. In pratica si dovrebbe essere disposti a puntare anche somme molto alte, sapendo che giocando abbastanza a lungo e in un casinò dove il banco non termina mai i soldi, prima o poi arriverà la giocata che ripagherà ampiamente la somma investita. Ciò si scontra con l’ovvia propensione del giocatore a puntare somme piccole di denaro, perché sa di non giocare all’infinito e che quindi verosimilmente la moneta non giocherà a suo favore, facendo uscire croce entro i primi 3 o 4 lanci. Ovviamente il problema è teorico, ma ha stimolato nel tempo studi non indifferenti per la teoria delle decisioni, in campo economico e soprattutto nella sua versione con una vincita massima imposta dalle risorse economiche del casinò.

Ogni volta che si lancia la moneta la probabilità che esca croce è la stessa, ma la probabilità che non esca prima di un certo lancio è tutta un’altra storia… pronti a scommettere?

Il Grand Hotel di Hilbert: tutti, ma proprio tutti, possono sedersi a tavola se tra i parenti c’è un matematico

A tutti sarà capitato almeno una volta di doversi sistemare a una tavola troppo piccola per tutti i commensali e di aver chiesto “aggiungi un posto a tavola” per stringersi un po’ e stare tutti insieme. Anche David Hilbert in qualche modo ebbe un’esperienza del genere, quando si trovò a discutere con l’amico Georg Cantor delle effettive dimensioni dell’infinito. L’esempio di Hilbert è il seguente. Esiste un hotel, l’Infinity hotel, che ha infinite stanze, ma è al completo. Cosa succederebbe se arrivaste con l’intenzione di soggiornare in una stanza? In un hotel normale sareste mandati via, alla ricerca di un altro luogo dove dormire, ma l’hotel di Hilbert sa accontentare tutti. “Che ogni ospite si sposti nella stanza con numero successivo a quello della propria”, annuncia il personale d’accoglienza in reception. Sentite un gran trambusto ai piani superiori mentre l’ospite della stanza 1 va nella 2, quello della 2 nella 3, quello della 3 nella 4 e così via. Le stanze sono infinite e senza problemi ecco una stanza libera per voi. Un bel modo di farcela, che potrebbe tornare utile al cenone coi parenti per stare tutti comodi anche quando arriva il cugino ritardatario e siete già tutti sistemati. Basta sostituire ogni stanza con una sedia e il gioco è fatto.

 

Un cenone tranquillo con infiniti amici e parenti

Abbiamo detto che stiamo lavorando con l’infinito no? E allora complichiamo la situazione facendo arrivare un autobus con infiniti turisti che vogliono tutti una stanza nell’Infinity Hotel. Chiunque sarebbe in panico, ma non Hilbert. Nella sua reception, infatti, la soluzione è nota: ogni ospite si sposterà nella stanza che ha numero doppio rispetto a quella dove già sono. L’ospite della 1 va nella 2, quello della 2 nella 4 e così via, finché ecco che tutte le stanze dispari sono libere. E guarda a caso i numeri dispari sono infiniti, proprio quello che serviva per far felici tutti. Anche la cena più numerosa che potreste organizzare è ora sistemata, ma se vi dicessi che non è finita qui? Immaginate infiniti hotel con infinite stanze, tutti pieni. Che succede se chiudono contemporaneamente tutti tranne uno? Dove li mettiamo gli infiniti ospiti di ogni hotel infinito? La soluzione c’è, anzi ci sono. Esistono infatti molti modi di farcela. Uno consiste nell’attribuire ad ogni ospite una coppia di numeri: il primo indica l’hotel da cui vengono,  il secondo la stanza che vi occupavano. Ora che sono tutti etichettati basta seguire un criterio ordinato ed ecco che sono tutti sistemati. Ad esempio, si può procedere per diagonali a partire da un’opportuna matrice: l’ospite (1,1) resta nella stanza 1, nella stanza 2 va l’ospite (1,2), nella 3 l’ospite (2,1), nella 4 l’ospite (3,1) e via dicendo. Chissà se qualcuno avrà mai voglia di imbandire una tavola così grande e cucinare per tutti…

Come sempre in matematica, l’ordine è la chiave di ogni soluzione, come mostra, lo schema qui sopra

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