Vediamo come la matematica può aiutarci a vincere uno dei più famosi giochi televisivi in Italia.
Il gioco (Affari tuoi) consiste nel trovare la scatola con il premio più alto, solitamente 500.000 euro, individuandola in un gruppo iniziale di 20 scatole, ognuna di esse appartiene ad un concorrente che rappresenta una regione italiana. Il concorrente prescelto (avente anch’esso un pacco) dovrà scegliere di volta in volta quale pacco aprire, a questo punto il pacco viene aperto e il contenuto eliminato dalla lista dei premi possibili. Un fattore importante è la presenza del dottore/dottoressa che frequentemente “chiama” il concorrente per offrirgli una cifra e terminare subito il gioco oppure dandogli la possibilità di cambiare pacco.
Fondamenti di probabilità
Prima di addentrarci a capire come migliorare le probabilità di vittoria di un gioco come affari tuoi dobbiamo gettare le basi sul concetto di probabilità. In algebra si indica con P(A) la probabilità che si verifichi un evento, quest’ultima è uguale a nA/n con nA che corrisponde al numero di casi favorevoli e n al numero di casi possibili. Per esempio la probabilità che lanciando un dado non truccato esca il numero tre è P(3)=nA/n=1/6 quindi abbiamo solo una possibilità su sei che esca il numero tre e questo lo notiamo anche dall’esperienza, si deduce quindi che il valore massimo di P(A) è 1 cioè quando l’evento è sempre verificato. Questo concetto è stato introdotto intorno al 1600 da Galilei e elaborato poi da altri scienziati, e uno dei motori che spinse a studiare questa scienza fu proprio il gioco dei dadi. La probabilità gettò le basi per la statistica che è l’unico strumento che abbiamo in grado di fare previsioni sul futuro con una certa accuratezza, ci permette per esempio di sapere se domani pioverà o ci sarà una bella giornata e soprattutto ci permette di vincere (più probabilmente) nei giochi basati sulla fortuna.
Teorema di Bayes
In precedenza ho accennato al fatto che il concorrente durante il corso del gioco ha la possibilità di cambiare pacco, ed è proprio questa possibilità che aumenterà la nostra probabilità di vittoria, più precisamente grazie al teorema di Bayes che infatti descrive la probabilità condizionata, ovvero la probabilità che si verifichi l’evento A sapendo che si sia verificato l’evento B (la probabilità che ho di vincere 500000 euro sapendo che l’ultimo pacco che ho aperto ne conteneva 50). P(A│B)= (P(B|A)*P(A) )/P(B) questa formula si legge: “la probabilità di A sapendo B è uguale alla probabilità di B sapendo A per la probabilità che si verifichi A fratto la probabilità che si verifichi B”. Per esempio si hanno due monete, una normale con una faccia testa e l’altra croce e una truccata con la testa da tutte e due i lati. Si lancia una moneta a caso ottenendo testa. Qual è la probabilità che si sia scelta la seconda moneta. Dalla formula vediamo che A corrisponde all’evento: “è stata scelta la seconda moneta” e B corrisponde all’evento: “dopo il lancio si è ottenuta testa”. Dunque col teorema di Bayes possiamo calcolare la probabilità che è stata scelta la seconda moneta sapendo che dopo il lancio è uscita testa. In questo caso P(B|A) (la probabilità che esca testa sapendo che è stata scelta la seconda moneta) è uguale a 1 poiché la seconda moneta ha due teste quindi è sempre verificata. P(A) (la probabilità che sia stata scelta la seconda moneta) è 1/2 poiché vi sono solo due monete e P(B) (la probabilità che dopo un lancio si ottenga testa) è 3/4 poiché vi sono 3 teste su 4, dunque P(A│B)=(1*1/2)/(3/4)=2/3 .
Problema di Monty Hall e Affari Tuoi
Adesso che abbiamo capito più o meno come funziona il teorema di Bayes possiamo addentrarci all’interno del gioco facendo il classico esempio di Monty Hall, il conduttore di Let’s Make a Deal, un gioco televisivo statunitense. Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse, due contengono una capra e una contiene un’auto di lusso. Il concorrente all’inizio del gioco deve scegliere una delle tre porte senza aprirla, in seguito il conduttore aprirà una delle due porte restanti (che lui sa esserci una capra) e chiederà al concorrente se vuole cambiare porta. A questo punto penserete che il concorrente abbia il 50% di probabilità di trovare l’auto invece il teorema di Bayes ci dimostra che è più conveniente cambiare porta. Immaginiamo che il concorrente abbia scelto la porta 1 e che il conduttore abbia aperto la porta 2 (contenente una capra). Vogliamo calcolare P(A2|C3) ovvero la probabilità che l’auto sia nella porta 2 sapendo che nella porta 3 c’è una capra, ed essa corrisponde a P(A2│C3)=(P(C3|A2)*P(A2))/P(C3) . Dunque P(C3|A2) corrisponde a 1 poiché se sappiamo che l’auto è nella porta 2 allora qualunque porta si scelga sicuramente ci sarà una capra, P(C3) è 1/2 poiché dopo che il concorrente ha scelto la porta 1 il conduttore ha il 50% di probabilità di trovare la capra in una delle due porte restanti e P(A2) è 1/3 poiché a priori l’auto può trovarsi equiprobabilmente in una delle tre porte, dunque P(A2│C3)=(1*1/3)/(1/2)=2/3 . In sostanza conviene cambiare porta perché su tre occasioni due volte ci si trova la macchina (da un punto di vista matematico). Allo stesso modo se rimangono tre pacchi (compreso il vostro), voi aprite il pacco con una cifra irrisoria, restano 500000 euro e 20 euro e la dottoressa vi chiede di cambiare pacco la scelta più razionale da fare è accettare il cambio.
