Si può analizzare la propagazione di un’epidemia utilizzando la matematica?

Attraverso il modello SIR vedremo come si possa analizzare una diffusione epidemiologica utilizzando semplici nozioni matematiche.

In questi giorni dilagano per ovvi motivi vari discorsi riguardanti metodi di analisi sulla diffusione di epidemie. In questo articolo ci proponiamo di introdurre quello che comunemente viene chiamato modello SIR. Faremo ciò partendo da un’analisi puramente empirica di quello che accade durante la diffusione di un’epidemia per poi tradurre tutto in linguaggio matematico e rendere dunque chiari i vantaggi di analisi con quest’ultimo approccio.

Analisi del quadro generale

Prima di tutto vediamo perché il modello SIR si chiama in questo modo. L’idea di partenza è infatti quella di dividere la popolazione in tre diverse categorie: suscettibili, infetti e rimossi. La categoria dei suscettibili riguarda gli individui che possono contrarre la malattia, mentre gli infetti sono invece coloro che hanno già contratto la malattia e ne sono portatori. A questi si affianca inoltre la categoria dei rimossi, che contiene al suo interno l’insieme delle persone che hanno contratto la malattia e che sono o guariti o deceduti. Una cosa importante da far notare è che in questo modello i guariti non possono più essere contagiati. La chiave per riuscire a comprendere al meglio questo modello è guardare alle tre categorie come delle fasi che possono essere attraversate dagli individui con un ordine ben prestabilito, partendo dai suscettibili fino ad arrivare ai rimossi. Ci proponiamo a tal proposito di considerare come le tre categorie cambino con il passare dei giorni. Ad un primo momento infatti ci saranno molte persone suscettibili e pochi infetti. Tuttavia con il passare del tempo vedremo il numero di infetti aumentare e quello di suscettibili diminuire esattamente della stessa quantità. Facendo avanzare poi ancora il nostro calendario inizieremo a notare che sempre più persone passeranno dalla categoria degli infetti a quella dei rimossi, diminuendo così gli infetti ed aumentando i rimossi. Grazie a questa idea di continuo flusso attraverso le tre categorie possiamo ora descrivere i fenomeni dal punto di vista matematico.

Passaggio al linguaggio matematico

L’idea di variazione continua nel tempo, può essere analizzata in matematica attraverso l’uso di equazioni differenziali. Senza entrare nel dettaglio della notazione diremo intuitivamente che la rapidità con la quale i suscettibili diminuiscono le tempo è proporzionale sia al numero di suscettibili che al numero di infetti che ci sono in un determinato istante. Questo significa semplicemente che più sono gli infetti ed i suscettibili e più velocemente decrescerà il numero di suscettibili. Essi decrescono inoltre in proporzione ad una costante che dipende da vari fattori ed in breve ci dice quanto un virus è infettivo. La stessa quantità che va quindi tolta dai suscettibili, dev’essere aggiunta agli infetti, che vedranno il loro numero crescere nel tempo della stessa quantità persa dai suscettibili. A questo numero va però sottratto il numero di persone che col tempo guariscono o decedono. Vedremo dunque sottratta agli infetti una quantità che dipenderà dal numero di infetti stessi (più infetti ci sono, più persone passano alla categoria dei rimossi) e da una costante che dipenderà a sua volta dal numero medio di giorni che servono per guarire. Infine il numero dei rimossi crescerà della stessa quantità che si sottrae dagli infetti nel tempo.

Risultati ed implicazioni

Attraverso la teoria sulle equazioni differenziali possiamo infine ottenere esplicitamente il valore degli infetti nel tempo. Essi seguiranno dunque una legge esponenziale che dipende strettamente da un parametro che dipende null’altro che dalle costanti che abbiamo citato precedentemente e dal numero di suscettibili. Esso è di particolare importanza in questo studio perché si osserva che se questo termine è maggiore di 1 allora gli infetti aumentano, mentre se è minore di 1 gli infetti diminuiscono. Infatti ciò che si osserva è proprio che il numero di infetti sale fino ad un certo valore limite, dopo il quale decresce con la stessa legge. Inoltre attraverso gli strumenti dell’analisi matematica si può ricavare persino il numero massimo di infetti prima che essi decrescano, scoprendo che questo valore dipende anch’esso dal parametro sopra citato. Quello che si sta cercando di fare infatti in questo periodo con la quarantena è cercare di agire su quel parametro, riducendo i contatti fra le persone in modo da rendere il virus più difficilmente trasmissibile, e così facendo diminuisce anche quel valore massimo di infetti di cui abbiamo parlato.

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