Problemi a risolvere il cubo di Rubik? Ci aiuta l’algebra con i commutatori!

Per finire un cubo di Rubik basta imparare a manipolarne una faccia e conoscere il concetto di commutatori.

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Collezione di puzzle ispirati al cubo di Rubik, fonte: wikimedia commons

Il cubo di Rubik è di sicuro uno dei rompicapo più conosciuti a livello mondiale. Il primo ad essere stato messo in commercio è il cubo 3x3x3, ma da esso sono derivati numerosi puzzle che risultano spesso di difficile risoluzione.

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Il Megaminx, uno dei puzzle che derivano dal cubo di Rubik, fonte: Wikimedia Commons

I metodi di risoluzione del cubo più comuni

Imparare degli algoritmi è solitamente la prima soluzione che viene proposta per il cubo. Questi metodi consistono nell’imparare a memoria una serie di passaggi per raggiungere uno scopo ben definito. Il vantaggio principale di questi metodi è il loro grande numero. Solo poche mosse costituiscono i più semplici che permettono di risolvere il cubo senza troppi sforzi. Inoltre le persone che hanno come obiettivo quello di risolvere il cubo il più velocemente possibile possono contare sul fatto che molti studiosi hanno realizzato algoritmi molto efficienti. Purtroppo però usare uno di questi metodi rende risolvere il cubo un puro lavoro di memoria e di agilità che non è molto stimolante.

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La croce bianca, il classico punto di partenza del metodo algoritmico a strati, fonte: wikimedia commons

Il cubo di Rubik dal punto di vista dell’algebra

Una delle strutture alla base dell’algebra lineare è il gruppo, un insieme munito di un’operazione binaria con le seguenti caratteristiche: esiste l’elemento neutro dell’operazione, esiste l’inverso di ogni elemento, l’operazione è associativa. Si può notare che l’insieme di tutte le possibili successioni di rotazioni delle facce del cubo di Rubik, munito dell’operazione che consiste nell’eseguire due successioni una dietro l’altra, è un gruppo. Infatti esiste l’elemento neutro che consiste nel lasciare il cubo intatto, l’opposto di ogni successione consiste in quella eseguita dall’ultima rotazione alla prima cambiando il verso di ogni rotazione. Infine eseguendo tre successioni di fila, eseguire le prime due e poi la terza o la prima e poi le ultime due è uguale. Va notato che l’operazione descritta non è commutativa.

I commutatori e la loro applicazione alla risoluzione del cubo

I commutatori sono, nella teoria dei gruppi, definiti in questo modo: il commutatore di due elementi a e b è a+b+(-a)+(-b). Il + rappresenta l’operazione del gruppo, mentre -a e – b sono gli inversi di a e b. Nel nostro caso gli elementi sono le successioni di mosse. Immaginiamo un cubo risolto, se troviamo una sequenza di mosse che scambia i colori di uno spigolo della faccia superiore lasciando invariati gli altri pezzi della stessa faccia ma distrugge i due strati inferiori è ovvio che applicando la sua inversa i due strati tornano a posto ma anche i colori dello spigolo vengono scambiati di nuovo. Si può però notare che se prima di eseguire la sequenza al contrario ruotiamo di 90° la faccia superiore, alla fine dell’esecuzione ci ritroveremo con un cubo risolto completamente se non per due spigoli i cui colori sono scambiati. Si vede bene come questo sia un esempio di commutatore. E usandone altri si riesce a fare tutto ciò che è necessario per la risoluzione del cubo. Per sfruttare a pieno questo metodo è però importante capire come modificare i pezzi di una singola faccia. Fatto questo il cubo è praticamente risolto.

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