Maturità 2019: allo scientifico secondo problema di fisica con la circuitazione del campo magnetico

Novità e discussioni hanno accompagnato l’esame di maturità 2019: vediamo uno dei due problemi.

 

Anche quest’anno sono uscite le tracce della maturità. Le ultime uscite, però sono “nuove”, perché le prime figlie della nuova riforma. In particolare, dopo anni che si vociferava che sarebbe successo, allo scientifico hanno inserito pure dei problemi di fisica. In particolare, il secondo problema, ritenuto più tosto dagli studenti, era quello più incentrato sulla fisica.

Problema 2

Il secondo problema presentava un condensatore a piatti piani e paralleli (se si vuole avere un’idea dell’utilità di un condensatore si guardi il mio articolo https://www.ilsuperuovo.it/la-scienza-dei-pokemon/). Si faceva notare il campo magnetico interno al condensatore dipendente dal tempo. In più si individuavano due parametri, k e a. Di questi ultimi bisognava fare l’analisi dimensionale andandosi a guardare la definizione di campo magnetico. Veniva richiesto di spiegare perché ci fosse un campo magnetico in assenza di correnti di conduzione. In realtà, se si conoscevano le leggi di Maxwell era abbastanza intuitiva come cosa: in un condensatore c’è un campo elettrico. Se esso è tempo-variante genera un campo magnetico anch’esso tempo-variante. La relazione delle direzioni viene sempre da Maxwell: infatti il campo elettrico e quello magnetico sono perpendicolari l’un l’altro.

Fonte: MIUR

Al punto successivo si richiedeva di considerare una circonferenza C perpendicolare all’asse di simmetria e di calcolare la circuitazione del campo magnetico. In generale la circuitazione è l’integrale di linea del campo vettoriale lungo un percorso chiuso. Essendo un integrale si tratta semplicemente di fare perimetro per campo, se il campo vettoriale ha una sola direzione nel sistema di riferimento. In parole povere: bisognava moltiplicare il campo per la circonferenza di C. Fatto questo la questione diventava più spinosa: secondo la legge di Ampere la circuitazione di B è uguale al mu (i classicisti criticheranno, ma in fisica si dice ì, sbagliando, mu) per I. Bisognava quindi ricavarsi I. Da lì si faceva l’integrale nel tempo e si otteneva un insieme di primitive che avrebbero descritto la carica q. Conoscendo q si poteva ricavare il campo elettrico con la classica formula. Ora, arrivati a questo punto, si doveva trovare il flusso di campo magnetico: questo in teoria è l’integrale di superficie del campo vettoriale. In pratica sappiamo già la superficie, il campo era anch’esso lungo solo una direzione e quindi bastava moltiplicare il campo elettrico per l’area di C. 

Fonte: MIUR

Infine bisognava fare il limite di B per t che tende a infinito. B va a zero e la giustificazione fisica è che B nasce perché il campo elettrico non è costante nel tempo. Una volta che si “stabilizza” non genera più campi magnetici.

L’ultima parte era più “standard” si trattava di studiare una funzione abbastanza semplice, trovare le tangenti ai punti di flesso e nell’ultimo punto individuare le relazioni tra la funzione e la sua derivata. La funzione non presentava limiti da risolvere con metodi particolari, né un dominio che mettesse in difficoltà. Anzi al restrizione del dominio del parametro “a” aiutava moltissimo riducendo drasticamente le “paranoie” da farsi durante lo svolgimento dell’esercizio. L’ultima richiesta dell’ultimo punto richiedeva di fare l’integrale tra -b e b, un parametro arbitrario maggiore di zero. Anche qui la primitiva delle funzione era data dal testo (andava dimostrato qualche richiesta prima ma per farlo bastava derivare la primitiva, era più semplice). Bastava insomma sostituire b a t.

Il teorema di Ampere

Da quanto detto fino ad ora la parte più difficile era senza dubbio quella che partiva dal teorema di Ampere e finiva al flusso del campo elettrico. 

Lo scopo di questo articolo è quello di dare un rapido sguardo teorico agli aspetti che portano dalla legge di Ampere alle equazioni di Maxwell (come si è visto le equazioni di Maxwell erano la chiave per risolvere il problema). La legge di Ampere si ricava calcolando al circuitazione (che ricordiamo, matematicamente è definita come l’integrale di linea chiusa di un campo vettoriale) lungo un percorso chiuso intorno ad una corrente filiforme. Facendo tutti i calcoletti otteniamo che la circuitazione di B è μ0*I. Dividendo per μ0 ottengo che la circuitazione di H e uguale a I.

Legge di Ampere in forma integrale

Partendo da qua Maxwell si accorse di una cosa: la legge di Ampere, così com’era scritta, contraddiceva il principio di conservazione della carica.

Un esempio è un semplice circuito come in figura. Se applichiamo la legge di Ampere lungo il circuito messo in grigio abbiano che la circuitazione è uguale a zero, perché non c’è nessuna corrente che “taglia” al superficie. Eppure la corrente passa nel circuito quindi in ingresso c’è.

Maxwell dedusse quindi che esisteva una corrente, detta corrente di spostamento, che fosse uguale a quella in ingresso (corrente di conduzione).  Rifomulò così la legge di Ampere creando la legge di Ampere – Maxwell, quella che poi sarà la quarta legge di Maxwell.

Legge di Ampere – Maxwell in forma differenziale. J è la densità di corrente, quindi è la corrente i su unità di superficie

Con questa formulazione teorica è possibile rispondere anche ad una delle domande del problema della maturità: infatti il campo magnetico è presente anche nel condensatore perché è generato da un campo elettrico, come dicono le equazioni di Maxwell. In particolare sappiamo sia che la derivata temporale di D è la corrente di spostamento, sia che D=ε0εrE. Quindi il campo elettrico è legato a D e il campo magnetico è a sua volta legato a quello elettrico.

Le quattro equazioni in alto sono le equazioni di Maxwell in forma differenziale

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