La matematica può aiutarci a prendere decisioni migliori? Scopriamolo con il film “A beautiful mind”

Il matematico John Forbes Nash, premio Nobel per l’economia nel 1994, è noto in sede scientifica per aver perfezionato la “teoria dei giochi”, inserendo in essa il principio che da lui prende il nome.

 

Il nome “teoria dei giochi” trae origine dal libro “Theory of Games and Economic Behavior”, pubblicato nei primi anni Quaranta dai matematici John von Neumann e Oskar Morgenstern.

I due avevano tentato di formalizzare in termini matematici il modo in cui si comportano gli individui quando si trovano in una situazione che può condurre alla spartizione oppure alla vincita di qualcosa. La teoria si applica quindi a un’infinità di scenari più o meno complessi, da una partita a scacchi alla regolamentazione di un mercato per gli scambi economici. Semplificando: si applicano le regole della matematica per descrivere e prevedere l’andamento di un gioco o di uno scenario reale.

Tuttavia, questa teoria ha acquisito maggiore visibilità solo in seguito all’apporto di John Nash, divenuto protagonista del film “A Beautiful Mind”.

 Le regole del gioco

Vi sono alcuni presupposti necessari per potere applicare la teoria dei giochi:

– gli individui giocano con lo scopo di vincere, massimizzando dunque il loro risultato;
– ogni partecipante può prendere un numero finito di decisioni;
– ogni decisione assunta da un individuo durante il gioco ha delle conseguenze, che possono essere positive o negative;
– il gioco può essere cooperativo, se più individui sono d’accordo con le decisioni assunte, oppure se ci si scontra sulle decisioni degli altri.

Gli individui coinvolti nel gioco sono intelligenti, in quanto hanno la capacità di comprendere la situazione che hanno davanti e soprattutto hanno la consapevolezza che con loro partecipano altri individui con differenti schemi mentali. Nella teoria dei giochi classica i decisori sono infinitamente intelligenti, cosa che semplifica le cose da un punto di vista dell’analisi del loro comportamento, ma ci sono comunque numerosi studi per analizzare giocatori con conoscenze e capacità più limitate.

Se vi sono interessi in comune tra i giocatori si parla di gioco cooperativo: viene ricercato un fine comune e sono quindi in ballo degli accordi vincolanti tra le parti. I modelli matematici per analizzare i giochi cooperativi sono di solito più semplici rispetto a quelli dei giochi non cooperativi, dove ci sono molte più variabili da considerare. Fu proprio Nash a dare un importante contributo al fine di sviluppare le teorie che gli stanno intorno.

Equilibrio di Nash

A Nash è dovuto il concetto di equilibrio all’interno di un gioco. In parole povere, per equilibrio si intende una situazione in cui nessuno dei giocatori ha interesse a modificare la scelta compiuta. Rendiamo più chiaro questo importante concetto con l’aiuto di un esempio: il gioco del pari e dispari.

I partecipanti sono 2 ed ogni giocatore ha 6 possibili mosse, dovendo scegliere uno tra i seguenti numeri: 0,1,2,3,4,5.
Ogni giocatore, prima di iniziare a giocare, ha deciso se “preferisce” pari o dispari e le due scelte devono essere l’una diversa dall’altra .
Una volta determinate queste caratteristiche, seguono immediatamente alcune conseguenze. Per esempio, questo è un gioco in cui non esiste il pareggio. Infatti non esistono altre possibilità, ogni numero naturale è Pari o Dispari, per cui uno dei due partecipanti necessariamente vince. Hanno entrambi la stessa probabilità di vittoria, infatti ciascuno vince in 2 casi su 4.

Altra caratteristica è che i giocatori non possono stringere accordi vincolanti nel corso della partita. Possono però comunicare prima che essa inizi. Per vincolanti si intende che non si può condizionare la scelta dell’avversario con accordi più o meno vantaggiosi. Inoltre, ogni giocatore può precisare le sue preferenze con dei “payoff”, vale a dire dei premi che variano in valore in base alle preferenze dei giocatori stessi. Nell’esempio del pari e dispari, se io scelgo Pari si può supporre che lo faccia perchè ha la possibilità di vincere più soldi in caso di vittoria. Diciamo quindi payoff il premio che io vinco in caso si verifichi una data sequenza di scelte da parte dei giocatori.

Per giungere ad ogni payoff, è necessaria una specifica sequenza di mosse e se quando si è giunti ad un payoff, tutti i giocatori non hanno motivi per pentirsi della sequenza di scelte fatte, allora l’equilibrio è stato raggiunto. In quali situazioni un giocatore potrebbe ‘pentirsi’ delle scelte fatte? Quando è consapevole che ha ‘vinto’ meno di quanto potenzialmente avrebbe potuto vincere.

Supponiamo quindi di arrivare ad un punto in cui il primo giocatore ho effettuato due mosse M1 e M2. Il suo avversario ha scelto invece L1 e L2. Il primo comprende che in tali circostanze non vincerebbe più di 10€. Supponendo per un momento che il suo avversario faccia le stesse mosse, si domanda: avrei potuto vincere di più di 10 se avessi fatto mosse diverse da M1 e M2? In caso di risposta affermativa, allora non si tratta di una situazione di equilibrio, altrimenti dovrebbe svolgere la stessa verifica anche nella direzione opposta, così da verificare se questo sarebbe solo un equilibrio per lui o anche per il suo avversario.

In tal caso si può dimostrare che se P=1/2 ed entrambi i giocatori scegliessero tra pari e dispari con lo stesso metodo, allora ci troveremmo in un equilibrio. Perchè non ci sono quindi equilibri puri nel pari e dispari? E’ molto intuitivo, infatti in ogni possibile payoff in cui mi posso trovare al termine del gioco, supponendo che ogni giocatore giochi per vincere, uno dei due giocatori avrà sempre interesse a cambiare la scelta perchè solo in tal caso potrebbe vincere. Non ci troveremmo quindi mai in una situazione di equilibrio.

Analizziamo ora un dilemma molto famoso, utilizzato per comprendere meglio il significato di equilibrio di Nash.

Il dilemma dei prigionieri

Il dilemma del prigioniero è un gioco proposto negli anni cinquanta del XX secolo dal matematico Albert Tucker come problema di teoria dei giochi. Oltre ad essere stato approfonditamente studiato in questo contesto, il “dilemma” è anche piuttosto noto come esempio di paradosso.

Il dilemma in sé, anche se utilizza l’esempio dei due prigionieri per spiegare il fenomeno, può descrivere altrettanto bene la corsa agli armamenti da parte di USA e URSS (i due prigionieri) nel corso della la guerra fredda.

Ecco qui la tabella a doppia entrata con cui può essere sintetizzato il dilemma:

 

Dilemma del prigioniero

 

In breve, la situazione è la seguente:

Ci sono due prigionieri a cui viene data la possibilità di confessare. Se entrambi lo fanno, trascorreranno 5 anni a testa in prigione. Se soltanto uno dei due lo farà, l’altro ne trascorrerà ben 10 in prigione. Se nessuno dei due confessasse, trascorrerebbero solamente 2 anni a testa in prigione.

E’ evidente che se ponessero il proprio interesse prima di tutto, senza valutare attentamente la situazione, finirebbero per trascorrere entrambi 5 anni in galera. Confessando, infatti, avrebbero la possibilità di essere liberati. Peccato che ciò accadrebbe solo se non lo facessero entrambi.

Apparentemente converrebbe ad entrambi non confessare, dato che il totale degli anni trascorsi in prigione sarebbero soltanto 4. Tuttavia se si analizza il tutto dal punto di vista del singolo giocatore, confessare risulta senz’altro la scelta da essi preferita.

Infatti se il giocatore 1 confessa, allora anche al 2 conviene confessarlo dato che altrimenti subirebbe 10 anni di prigione. Se invece il giocatore 1 non confessasse, comunque al giocatore 2 converrebbe confessare dato che, in tali circostanze, uscirebbe indenne dalla prigione. Lo stesso ragionamento può essere ripetuto supponendo fissata la scelta del giocatore 2 e verificando come, in qualsiasi caso convenga scegliere di confessare anche al giocatore 1.

Infatti si può notare come confessare è strategia dominante per entrambi, è la scelta preferita da entrambi i giocatori indipendentemente da ciò che accade nel gioco stesso.

L’equilibrio si raggiunge quindi con la confessione di entrambi ed è qui che sorge un paradosso. Infatti nelle loro migliori scelte vanno a trascorrere in galera più anni di quanti ne avrebbero potuti trascorrere se avessero potuto accordarsi.

Se fossero entrambi certi che l’altro giocatore avesse scelto di non confessare, avrebbero potuto trascorrere soltanto 2 anni in prigione. Ora invece ne trascorreranno 5 a testa, ma saranno comunque “contenti” delle loro scelte in quanto esse, indipendentemente dalle scelte dell’altro giocatore, garantivano il miglior risultato.

 

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