I numeri primi entrano di diritto fra i temi più affascinanti e studiati della matematica; Paolo Giordano li proietta anche nella letteratura.
A tutti sarà capitato di sentir parlare di numeri primi nel proprio percorso di studio, ma sicuramente si sarà trattato di un discorso superficiale e che ha lasciato solo noia. Paolo Giordano ci dimostra il contrario, costruendo un alone romantico intorno a queste “barbosità matematiche”.
La solitudine dei numeri primi
“La solitudine dei numeri primi” è un romanzo di Paolo Giordano, fisico e scrittore italiano, risalente al 2008. La storia racconta le vicende di Mattia e Alice, da quando erano piccoli fino all’età adulta. L’autore apre la storia mostrando in 2 capitoli paralleli, i traumi vissuti dai 2 ragazzi:
- Da piccolo, Mattia abbandona la sorella gemella, affetta da una forma di ritardo mentale, in un parco, per andare ad un compleanno e non essere emarginato dai compagni. Al suo ritorno, la bambina è scomparsa, forse annegata nel fiume vicino. Non verrà recuperato nessun corpo dalla polizia, né tanto meno ritrovata.
- Alice vive un’incidente durante un allenamento di sci, finendo in un dirupo e rimanendo zoppa per il resto della vita.
I 2 ragazzi entrano in contatto durante l’adolescenza, dove vivono momenti di vicinanza e lontananza, segnati da tentativi di comunicazione e riemersione dei propri traumi. È in questo periodo che Mattia, altamente dotato nella matematica, identifica lui e lei come 2 numeri primi gemelli: 276088996649 e 270889966651. Loro come i numeri, sono unici, indivisibili e sempre ad una distanza tale che non possono comunicare, né toccarsi veramente.
Su questo concetto continua a svilupparsi la storia, vedendoli crescere separatamente, lui in Norvegia e lei in Italia, con le loro passioni accanto. Il tutto vede un finale dove i 2 pur riconoscendosi come legati nel profondo, non riescono ad affermare il loro amore oltre un semplice bacio. Mattia partirà comunque con un volo il giorno seguente per tornare all’università dove insegna.
I numeri primi e i primi gemelli
I numeri primi sono dei numeri aventi solamente 2 divisori: 1 e se stessi. Essi sono un concetto basilare nella teoria dei numeri perché, per la loro particolarità nella fattorizzazione, possono essere considerati degli “atomi” dei numeri interi: moltiplicando fra loro i n.p. si può ottenere qualsiasi altro valore (intero). Inoltre, hanno assunto un ruolo centrale nella crittografia, dove permettono di creare “chiavi” molto sicure.
Come sì può notare dalla foto, i suddetti numeri sono tutti dispari, ad eccezione del 2, e non contengono l’1. Quest’ultima esclusione ha una motivazione fondamentale: per il teorema fondamentale dell’aritmetica ogni numero può essere espresso in modo unico, a meno dell’ordine, come prodotto di numeri primi. Ad esempio, consideramo il numero 10, il quale corrisponde al prodotto 2×5 (o 5×2). Se 1 fosse primo, allora non avremmo una scrittura unica: 10=5x2x1 ma anche 5x2x1x1 e così via.
All’interno dell’insieme dei n.p., ve ne sono alcuni che sono definiti “primi gemelli“. Essi godono della caratteristica di avere la minima distanza possibile fra loro: escludendo la coppia (2,3), ogni altro n.p. può stare ad un minimo di 1 unità dal successivo (o precedente), dato che fra i 2 valori identificati ci sarà una quantità pari, necessariamente multiplo di 2. Ne sono esempi (3,5), (5,7) … ed anche (2760889966649, 27060889966651).
Ad oggi non è dimostrato se questo insieme sia infinito o meno; di certo, ci sono diverse congetture ed ipotesi, oltre che alcuni metodi empirici (di cui però va compreso il perché del risultato), che hanno spinto in là lo studio. In particolare, va citato il lavoro di Zhang Yitang il quale ha dimostrato l’esistenza di infinite coppie di primi distanti 70 milioni di unità. Pur essendo un traguardo distante dal vero obiettivo, ha aperto la strada ad una strategia di indagine per risolvere la congettura dei numeri primi gemelli.
Solitudine o no?
In matematica, per definire il “grado solitudine” di una famiglia di numeri si utilizza una semplice procedura: si prendono tutti i numeri di questa, si fanno i reciproci di ognuno e si sommano. Questa metodologia vale sia che la famiglia sia composta da finiti, che infiniti elementi. Il problema è quindi quello di sommare una serie infinita di frazioni, ai cui denominatori ci sono dei primi gemelli. In generale, la somma finale può essere infinita o meno, ed il valore ottenuto è il grado di solitudine cercato.
Ironicamente, a discapito di Giordano, secondo questa definizione i numeri primi non sono affatto soli: fu infatti Eulero, matematico e fisico del 1700, a dimostrare che la somma dei reciproci dei numeri primi è infinita. Ovvero:
Per quanto riguarda i numeri primi gemelli si sa solo che la loro somma è finita: ammette un limite superiore chiama costante di Brun. Forse Giordano farebbe bene a rinominare il romanzo “la solitudine dei numeri primi gemelli“.
