John Nash e “A Beautiful Mind”: scopriamo le potenzialità della teoria dei giochi

Se ogni volta che sentite nominare la “teoria dei giochi” nella vostra testa vedete un gruppo di adolescenti davanti ad un videogioco, oppure un russo e un americano che giocano a scacchi, allora è il caso di sapere che la matematica gioca un ruolo fondamentale anche in questo caso.

 

A beautiful mind

 

Sembra ovvio spiegare di cosa si occupa la teoria dei giochi: di giochi. L’inganno è nascosto nel cosa si intende usando la parola “gioco”. Cercando su Google la definizione di gioco: Qualsiasi esercizio, singolo o collettivo, cui si dedichino bambini o adulti per passatempo o svago o per ritemprare le energie fisiche e spirituali: giochi all’aperto, infantili, di società. Giochi di prestigio, esibizioni di particolare abilità o destrezza.

Nonostante l’espressione “giochi matematici” per indicare problemi e indovinelli, quello di cui si occupa la “teoria matematica dei giochi” è legato alla seconda parte della definizione: i giochi di cui parleremo sono dei modelli di situazioni della vita reale, in cui è presente una competizione tra (almeno) due soggetti, i quali interagiscono seguendo delle regole, per raggiungere un determinato obiettivo.

 

Giocatori razionali ed egoisti

Le ampie applicazioni della teoria dei giochi sono possibili grazie alla flessibilità dei concetti di gioco e di giocatore. I partecipanti alla competizione infatti non devono necessariamente essere delle persone fisiche, ma possono essere anche Stati, industrie, partiti, computer, organismi biologici, animali o qualsiasi oggetto che possa essere descritto come razionale ed egoista. Sono solo questi due aggettivi infatti a caratterizzare il comportamento dei giocatori, quindi a determinare le ipotesi fondamentali della teoria.

Dilemma del prigioniero

 

Non è semplice descrivere in poche righe cosa voglia dire essere razionali, soprattutto senza addentrarsi in discorsi filosofici. Sicuramente quello che ci si aspetta dai giocatori è che sappiano capire le regole del gioco, siano in grado di farne un’analisi completa e di usare gli strumenti matematici necessari; inoltre devono saper esprimere delle preferenze coerenti sui possibili esiti del gioco (cioè senza creare dei cicli come A meglio di B, che è meglio di C, ma a invece C è preferito ad A!). Ogni giocatore viene così fornito della sua funzione di utilità, che associa agli esiti del gioco un valore (solitamente numerico) per quantificare la felicità del giocatore. Il comportamento egoista dei giocatori, invece, è semplicemente descritto dal loro obiettivo di essere più felici possibili, che matematicamente viene tradotto nel cercare di massimizzare ognuno la propria funzione di utilità. Attenzione: questa definizione di egoismo non necessariamente coincide con quella utilizzata nel nostro linguaggio quotidiano. Ad esempio, se per far felice il mio fratellino minore preferisco che vinca lui mentre giochiamo a carte, la mia funzione di utilità darà un valore maggiore alla sua vincita che alla mia; dal punto di vista della teoria dei giochi, io sono un giocatore perfettamente razionale ed egoista nel giocare cercando di… perdere!

 

Cooperare oppure no

Ovviamente esistono moltissimi tipi di giochi che si possono catalogare secondo le loro caratteristiche: giochi finiti, a somma zero, a informazione perfetta o completa, giochi ripetuti, giochi stocastici, giochi differenziali… Senza addentrarci e perderci nei particolari, possiamo fare una distinzione preliminare in due grandi famiglie, che classicamente dividono a metà il tipo di approccio da utilizzare per studiare i giochi: i giochi cooperativi e quelli non cooperativi.
Nei primi si suppone che per qualche motivo, esistano degli accordi vincolanti tra i giocatori che quindi sono portati a collaborare, formando coalizioni per poter raggiungere l’obbiettivo. Vengono descritti come giochi cooperativi ad esempio i problemi di divisione di costi o guadagni; gli organi di governo o le situazioni di bancarotta. I giochi non cooperativi invece non prevedono la collaborazione dei giocatori, ognuno agisce per conto proprio, come ad esempio negli scacchi, nelle aste, nei conflitti militari…
Le differenze tra le due famiglie non sono solo nell’interpretazione teorica sul comportamento dei giocatori, ma anche negli stumenti matematici utilizzati per descrivere il gioco e soprattutto nel concetto di soluzione associato al gioco.

 

Teoria dei giochi

 

Ad esempio risolvere uno gioco non cooperativo come quello degli scacchi significa cercare le mosse che portano alla vincita di uno dei due giocatori o al pareggio; risolvere il problema di divisione delle spese in un condominio significa, invece, stabilire quanto ogni condomino dovrà pagare per utilizzare i servizi. In generale, nei giochi non cooperativi si cerca di stabilire la strategia ottimale per ogni giocatore e quale sia l’esito migliore raggiungibile; nell’ambito non cooperativo si cercano risposte diverse come quali siano le coalizioni che è vantaggioso formare, quali siano i giocatori più influenti o come vadano divisi costi e guadagni.

 

Il teorema di Nash

 

Lo Scopo di John era pratico e terreno: capire se, quando e come due “giocatori” (intesi genericamente come operatori o agenti concorrenti…) potessero trovare una situazione finale di “equilibrio”, ossia di accettazione del risultato finale del “gioco” (inteso genericamente come negoziazione o scambio competitivo) tale da non volerlo modificare unilateralmente. Il “Teorema di von Neumann” garantisce tale equilibrio per giochi finiti (numero finito di opzioni e mosse possibili), a “somma zero” (un giocatore vince esattamente ciò che l’altro perde), con informazione completa (i giocatori condividono le stesse esaustive informazioni, senza alcuna “asimmetria informativa”).

Il limite dei giochi a somma zero, analizzati per primo da von Neumann, è stato superato proprio dal “Teorema di Nash” che garantisce, sotto certe condizioni, l’esistenza di un equilibrio anche in situazioni competitive più complesse di quelle analizzate da von Neumann, ossia in giochi con numerosi partecipanti che possono anche operare una scelta dalla quale tutti traggono un vantaggio (oppure, limitare lo svantaggio al minimo): una differenza epocale rispetto al caso dei giochi a somma zero studiati in precedenza, e alla base di quasi due secoli di teoria economica, dove la vittoria di uno dei due partecipanti era totale ed esclusiva, ossia necessariamente accompagnata dalla sconfitta dell’altro.
Insomma, come ben esemplificato nel citato film “A beautiful mind”, è possibile ottenere risultati molto migliori (“ottimali”) coniugando scientemente competizione con collaborazione – nessuna delle due
strategie è di per sé vincente.
La strategia vincente è un mix delle due, e di altre ancora.

A Beautiful Mind

 

John Nash ha dimostrato matematicamente che, se la mia sequenza di comportamenti cambia in funzione
degli eventi x, y o z in maniera probabilistica, anziché in maniera predefinita, allora realizzo una strategia
mista che vince contro qualsiasi strategia pura.
Nella nostra vita quotidiana e operativa, non possiamo però permetterci di calcolare, per ogni specifica
situazione, la frequenza ottimale dei comportamenti utili per vincere e guadagnare – non fosse altro
che una volta non c’erano mica né calcolatrici, né Teoria dei Giochi…

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