Il Superuovo

Gli Avengers sanno usare la matematica? Scopriamolo con le equazioni differenziali ed i frattali

Gli Avengers sanno usare la matematica? Scopriamolo con le equazioni differenziali ed i frattali

I Vendicatori (meglio noti al grande pubblico come Avengers) sono un gruppo di supereroi ideati da Stan Lee e Jack Kirby, composto da personaggi immaginari del mondo della Marvel Comics. Tra questi spiccano Capitan America, Thor, Iron Man, Hulk e molti altri. Tuttavia, ci siamo mai domandati se questi potentissimi supereroi abbiano mai sfruttato i principi della matematica e della fisica a proprio favore o a proprio svantaggio?

 

Avengers: Infinity War 1920 1080 Wallpapers - Full HD Backgrounds

 

Lo schiocco delle dita di Thanos, l’ultratecnologica armatura di Tony Stark, l’incredibile agilità di Spiderman e moltri altri superpoteri sembrano descritti solo superficialmente all’interno dei film e dei fumetti targati Marvel. Cerchiamo ora di comprendere l’effettivo ruolo della matematica e della fisica nelle imprese dei nostri beniamini e di come una conoscenza più approfondita di queste due discipline avrebbe potuto influire sulle loro scelte.

 

E SE…THANOS CONOSCESSE LA MATEMATICA?

 

Il film “Avengers – Infinity War” è stato un grande successo in tutto il mondo. Il protagonista è un gigante di nome Thanos che persegue i suoi scopi criminosi per l’intero film: cancellare metà degli esseri viventi dell’universo per risolvere il problema della scarsità di risorse. Tuttavia, siamo certi che il calcolo citato da Thanos nel film sia corretto?

 

Thanos

 

Per comprenderlo, è necessario entrare nel mondo delle equazioni differenziali e della dinamica delle popolazioni.
Un’equazione differenziale non è altro che un’equazione che coinvolge una funzione incognita e le sue derivate.

Ad esempio, pensiamo al numero di individui di una popolazione come ad una funzione dipendente dal tempo y(t). Il tasso con cui varia questa popolazione nel tempo è la derivata della funzione rispetto al tempo y'(t). Naturalmente, la popolazione varia in base al numero di nascite e del numero di morti ad un certo istante, e possiamo supporre (per comodità) che questa variazione sia proporzionale al numero di individui presenti.

Possiamo allora immaginare che il tasso di variazione sia direttamente proporzionale al numero di individui y(t), moltiplicato per un certo fattore di natalità α, e ad un altro fattore di mortalità ω, anch’esso moltiplicato y(t). Otteniamo dunque la seguente equazione: y'(t) = αy(t) − ωy(t).

Se indichiamo con la lettera a il numero di individui all’istante iniziale in cui cominciamo a considerare la nostra popolazione, dopo qualche conto noioso, si osserva che la soluzione di questa equazione è y(t) = ae^(α−ω)t.

Quindi, se α > ω (ovvero se è più probabile fare figli piuttosto che morire) il numero di individui cresce esponenzialmente! Ma c’è una fattore che a Thanos sta molto a cuore e che per adesso abbiamo trascurato: la scarsità delle risorse. La nostra popolazione modello è libera di riprodursi a piacimento, senza mai soffrire la fame. Se vogliamo convincere il titano viola a non spazzare via metà universo, dobbiamo fornire allora un modello più convincente.

Vogliamo quindi aggiungere una correzione negativa che sia piccola quando ci sono pochi individui, perché in quel caso l’effetto della scarsità di risorse è trascurabile, e che diventi molto grande al crescere del numero di individui, ovvero −σy^2(t). Le strade sono dunque due: o andiamo a verificare con gli esperimenti se l’ipotesi è plausibile, oppure verifichiamo a posteriori in che modo questa scelta influenza il comportamento delle soluzioni.                                    Notiamo una cosa: la funzione costante y(t) ≡ α−ω/σ è una soluzione dell’equazione e si chiama soluzione di equilibrio.

Ora, applicando alcuni lemmi e teoremi molto complessi sul problema di Cauchy, è possibile dimostrare che tutte le soluzioni, indipendentemente dal dato iniziali si avvicinano alla soluzione di equilibrio! Allora a Thanos, sarebbe bastata qualche lezione di analisi per rendersi conto che il suo semplice calcolo era completamente sbagliato, e che sterminare metà popolazione non avrebbe prodotto nessun risultato duraturo!

 

DOCTOR STRANGE ED I FIOCCHI DI NEVE DI VON KOCH

Tutti conosciamo il personaggio di Doctor Strange,  il miglior neurochirurgo del mondo che, in seguito ad un incidente automobilistico che compromette le sue mani, apprende le arti magiche ed i segreti della manipolazione del tempo grazie all’occhio di Agamotto.

mind is the power.

 

La maggior parte delle scene del film che lo vede protagonista si svolgono nella cosiddetta “dimensione speculare”, un luogo in cui le leggi della natura non vengono rispettate. La gravità non esiste,  i grattacieli si attorcigliano e si dividono, le onde si increspano attraverso i muri, a volte sembrano comparire più copie dell’intera città contemporaneamente, ma a dimensioni diverse. Tuttavia, ben pochi sanno che portare l’altro intricato mondo di Doctor Strange sul grande schermo ha richiesto tempo e fatica. Alexis Wajsbrot, il responsabile degli effetti visivi,  aveva anche bisogno di un motivo geometrico chiamato Mandelbrot Set, uno dei frattali più popolari. In particolare, un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale.

Le persone che hanno contribuito agli effetti speciali per il film volevano usare molti frattali, afferma Wajsbrot. Mentre i personaggi tentano di esplorare tutti i bizzarri cambiamenti nella loro realtà, le scene ingrandiscono o rimpiccioliscono su un edificio, una parete oppure un pavimento. E questo, a sua volta, rivela più edifici, pareti e pavimenti all’interno. In breve, l’obiettivo dei cineasti era usare la matematica per creare scenari che la gente non aveva mai visto in un film prima.

Il set Mandelbrot prende il nome da Benoit Mandelbrot, matematico di origine polacca che aveva condotto numerosi studi sui frattali. Tuttavia, egli non ha inventato o scoperto queste forme. In precedenza, infatti, un matematico svedese di nome Niels Von Koch ideò uno dei frattali più famosi della storia.

 

Il frattale di Von Koch è un po’ più facile da intuire del Set di Mandelbrot. Ecco la sua ricetta: si inizia con un triangolo equilatero, per poi rimuovere il terzo medio di ciascun lato. Una volta fatto questo, si costruisce un triangolo equilatero in ciascuno di quei punti in cui è stata rimossa la linea.

La figura è conosciuta come il fiocco di neve di von Koch, talvolta noti anche come “mostri” matematici. Il fiocco di neve di Von Koch non è altro che un frattale. Se lo si ingrandisce ovunque, si troverà lo stesso modello di triangoli sui triangoli.

Questa struttura dimostra ulteriormente l’importanza dei frattali nel film del Doctor Strange, al fine di realizzare i meravigliosi effetti scenici a cui siamo abituati.

 

ENDGAME E LA FISICA QUANTISTICA

Fin dal suo inizio, l’MCU ha avuto un rapporto interessante con la scienza. La lega in oro-titanio della tuta Mark III di Stark sarebbe in realtà particolarmente fragile, il vibranio di Wakanda è un meta-materiale con proprietà non possedute da nessuna sostanza conosciuta nell’universo.

Ma la narrativa del viaggio temporale nello spazio quantistico di Endgame potrebbe essere diversa. Durante le spedizioni di Scott Lang nel “regno quantistico” nel film Ant-Man, siamo stati sorpresi di scoprire che tra le varie fantastiche rappresentazioni di questo spazio subatomico c’erano immagini che ricordavano le rappresentazioni visive delle equazioni dei fenomeni quantistici. Questo è stato il nostro primo indizio del fatto che l’applicazione liberale del prefisso “quantistico” da parte degli scrittori nei film di Ant-Man e in Endgame non era completa. Potrebbe esserci una vera teoria qui, invece di fare riferimento casualmente alla scienza come canone di riferimento dell’MCU?

 

Ant-Man e il camion quantistico

Parliamo ad esempio del Quantum GPS. Stark era evidentemente preoccupato quando Capitan America e gli altri Avengers lo hanno contattato per la prima volta con l’idea di viaggiare nel tempo. “La fluttuazione quantistica crea problemi con la scala di Planck, che a sua volta fa scattare la proposta tedesca. Possiamo essere d’accordo su questo? ”

Vediamo se riusciamo a tradurre. La scala di Planck è essenziale per misurare i “quanti di energia”, le unità più piccole possibili per lunghezza, massa e tempo. La fluttuazione quantistica si riferisce ai cambiamenti infinitesimi di energia in punti dello spazio quantistico che sono probabilistici e imprevedibili. Queste fluttuazioni sono normalmente irrilevanti per noi, ma renderebbero impossibile il calcolo accurato della traiettoria delle particelle subatomiche nello spazio quantistico. Il principio di incertezza ci mostra la conseguenza di queste fluttuazioni: che la posizione precisa e la quantità di moto di una particella non possono essere conosciuti contemporaneamente. Questo significa che i nostri eroi non sarebbero mai in grado di determinare esattamente dove si trovano su scala quantistica, figuriamoci dove stanno andando. Sarebbero fortunati se riuscissero a fare anche solo una frazione di pollice lungo il percorso desiderato dello spazio tridimensionale, per non parlare di un quarto.

Per quanto riguarda la “Proposta Deutsch?”, pensiamo che Stark possa aver significato il pioniere dell’informatica quantistica e fisico David Deutsch, un sostenitore dell’idea di un multiverso. Esprimendo tutto in termini di probabilità, Deutsch è stato in grado di eliminare il Grandfather Paradox, che si adatta perfettamente al tema di Endgame di molteplici linee temporali e consente a Captain America di combattere Captain America.

Ancora meno solido è Stark che trova ispirazione in un nastro di Mobius per rompere il Principio di Incertezza e progettare un “GPS quantistico”, molto probabilmente violando allo stesso tempo la seconda legge della termodinamica. Ma poi, un pomeriggio, Stark ha scoperto e sintetizzato casualmente un nuovo elemento nel suo garage. Ora, se rimpicciolirsi, sopravvivere e camminare anche di pochi passi su scala quantica è così incredibilmente poco plausibile, perché i Vendicatori pensano che queste condizioni potrebbero rendere più facile viaggiare nel tempo?

In sostanza, il viaggio nel tempo macroscopico non è mai stato osservato. Tuttavia, non è matematicamente proibito che le particelle subatomiche invertano la loro direzione nel tempo. La matematica della fisica quantistica consente alla causalità di lavorare in avanti o indietro nel tempo fino a quando entra in gioco l’entropia, cioè la seconda legge della termodinamica, e Stark non ha tardato ad infrangerla.

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